De fato, podemos provar os seguintes resultados:

Se $f : $ IR $ \to $ IR é uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) que transforma toda progressão aritmética $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$ numa progressão aritmética $y_{1} = f(x_{1})$, $y_{2} = f(x_{2})$, ..., $y_{n} = f(x_{n})$, ..., então $f$ é uma função afim.

Seja $f : $ IR $ \to $ IR uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente). Se a variação $\Delta{y} = f(x + \Delta{x}) - f(x)$ depende apenas de $\Delta{x}$, mas não do ponto $x$ escolhido, então $f$ é uma função afim.

Não cabe aqui fazer as demonstrações desses resultados. O estudante curioso poderá encontrá-las em “A Matemática do Ensino Médio, vol1., da Coleção do Professor de Matemática, da SBM e autoria dos professores E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado”. 

Uma outra alternativa é pedir para o seu professor fazer essas demonstrações. Tenho certeza que ele não irá negá-lo, pois você, com essa atitude, terá dado sinal que gosta muito de matemática!

Mas aqui no nosso material usaremos apenas esses resultados e sua intuição matemática para resolver alguns problemas do cotidiano.