Caro professor, caso tenha qualquer questionamento, não hesite em nos contactar pelo e-mail:
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Esta atividade explora, através de vários exemplos, o uso de diagramas de árvore na solução de problemas envolvendo probabilidade condicional.

O objetivo desta atividade é desenvolver no aluno a capacidade de

1) organizar o espaço amostral de um experimento aleatório através de diagramas de árvore;
2) realizar operações com eventos aleatórios;
3) escrever operações com eventos aleatórios em notação de conjunto;
4) calcular probabilidades condicionadas e não condicionadas de eventos aleatórios.

Todos os exemplos lidam com situações realistas, o que permite que o aluno veja a aplicação da teoria da probabilidade na solução de problemas da vida cotidiana.

Essa atividade explora o conceito de probabilidade condicional, tópico normalmente estudado ao final da apresentação do conteúdo de Probabilidade. Dessa forma, deve ser usada como uma atividade de encerramento desse tópico, explorando-se as diversas propriedades já vistas.

Embora a seleção dos problemas seja feita aleatoriamente pelo programa, caso seja possível, esta atividade pode ser apresentada durante uma aula em um laboratório de informática. Com o auxílio de um datashow (projetor multimídia), você, professora ou professor, deve apresentar um dos problemas e discutir passo a passo a solução.

Em seguida, peça aos alunos para trabalharem, ainda no laboratório, individualmente ou em duplas, em um novo problema, tendo o cuidado de pedir a todos que selecionem o mesmo problema. Para isso, basta clicar no botão "Novo" até aparecer o problema desejado. Clique aqui para baixar um arquivo em formato pdf com o enunciado de todos os problemas existentes no banco.

Para completar o estudo, é importante que o aluno trabalhe na atividade individualmente como um exercício extra-classe, resolvendo pelo menos 5 dos problemas propostos. Durante esse trabalho, o aluno deve preencher algum Formulário de Acompanhamento. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre para modificá-lo de acordo com suas necessidades):

arvore-aluno.rtf.

Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página inicial da atividade através do seguinte ícone:

A atividade pode ser acessada usando a internet, através dos links

http://www.uff.br/cdme/arvore/

http://www.cdme.im-uff.mat.br/arvore/

ou, se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet.

A atividade pode ser executada em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-la, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada.

A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_BR/.

Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com/pt_BR/.

Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável.

Combinação de Teclas	Efeito
	Ampliar
	Reduzir
	Voltar para a configuração inicial

Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade.

Eis algumas sugestões de pontos que você deve abordar em sua aula.

1.	Na construção da árvore, chame a atenção para o fato de que cada galho representa condicionamento na ocorrência do evento do galho anterior. Os nós iniciais representam, então, probabilidades a priori, ou seja, probabilidades estipuladas sem qualquer conhecimento sobre o resultado do experimento. Discuta com os alunos a ordem de precedência dos eventos. É importante que o aluno consiga entender o condicionamento dos eventos, definido a partir dos dados do problema.
2.	No cálculo das probabilidades dos ramos da árvore, explore o teorema da multiplicação, enfatizando que estão sendo calculadas probabilidades de interseções de eventos, que resultam da definição de probabilidade condicional como P(A∩B) = P(B|A).P(A)
3.	No cálculo das probabilidades totais, exiba na árvore o evento de interesse. Mostre que ele é a união de eventos mutuamente exclusivos, representados por diferentes ramos da árvore. Assim, a probabilidade desejada é a soma das probabilidades desses ramos. Utilize também diagramas de Venn para ilustrar a partição do espaço amostral. Veja a figura a seguir, para o exemplo das 3 máquinas. Essa é uma outra forma de se ver que uma peça defeituosa pode ter sido produzida ou na máquina A, ou na máquina B, ou na máquina C.
4.	O mesmo diagrama de Venn acima pode também ser usado para ilustrar o cálculo das probabilidades a posteriori. Sabendo-se que a peça é defeituosa, o novo espaço amostral fica reduzido ao evento D e, nesse novo espaço amostral, o evento A, por exemplo, corresponde ao evento A∩D no espaço original.
5.	Na parte final, em que é aplicado o teorema de Bayes para o cálculo das probabilidades a posteriori, explore as diferenças entre P(A) e P(A|B). Para a primeira, não há qualquer informação, mas, para a segunda, sabemos da ocorrência do evento B, o que pode alterar a probabilidade de ocorrência de A.

Depois que os alunos resolverem a atividade em casa ou no laboratório, sugerimos que você faça em sala de aula os exercícios propostos no Formulário de Acompanhamento do Aluno, chamando atenção para a formalização das soluções e as propriedades envolvidas.

Morgado, A.C.O.; Carvalho, J.B.P.; Carvalho, P.C.P.; Fernandez, P. Análise Combinatória e Probabilidade, Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006

Hazzan, S. Fundamentos de Matemática Elementar: Combinatória, Probabilidade - vol. 5, 7a. edição. São Paulo: Atual Editora, 2004.

Julianelli, J.R.; Dassie, B.A.; Lima, M.L.A.; Sá, I.P. Curso de Análise Combinatória e Probabilidade - Aprendendo com a resolução de problemas. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2009.

Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszjan, D.; Périgo, R.; Almeida, N. Matemática - Ciência e Aplicações, 4a. edição. São Paulo: Editora Atual, 2006.

Goodman, T. Shooting free throws, probability and the golden ratio. Mathematics Teacher, vol. 103, no. 7, pp. 482-487, March 2010.