PARTE 2: O MOVIMENTO RETRÓGRADO DOS PLANETAS

Quando a Terra se move em torno do Sol, as constelações se movem no céu. Se você observá-las ao longo do tempo, notará que elas nunca mudam de tamanho ou forma. Os povos antigos notaram, contudo, que existem certos objetos celestes (além do Sol e da Lua) que se comportam de maneira diferente. Eles se movem contra o fundo das estrelas mais distantes, entrando e saindo das constelações, algumas vezes indo e voltando. São os cinco planetas que podem ser vistos a olho nu: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno.


Foto: Eugene Alvin Villar (Wikimedia Commons).
 
Foto: Tunç Tezel. All rights reserved. Used by permission. (c) 2001.

Apesar do sistema ptolomaico conseguir modelar o movimento retrógrado dos planetas, o modelo básico da teoria dos epiciclos oferece apenas uma aproximação muito simples para o movimento real. Por exemplo, o uso do modelo básico implica que os arcos retrógrados são de mesmo tamanho e que eles estão igualmentes espaçados. Mesmo os antigos astrônomos gregos sabiam que isto não acontecia. Por este motivo, várias modificações foram sugeridas para o modelo básico a fim de incorporar estas irregularidades.

No aplicativo abaixo, o ponto A descreve a posição aparente com relação ao centro do deferente do planeta representado pelo ponto amarelo sobre o epiciclo. Os dados iniciais modelam o movimento aparente de Mercúrio com relação a Terra. Pressione o botão "Animar!" e observe o movimento retrógrado do ponto A. No formulário de acompanhamento do aluno você encontrará dados para os planetas Vênus, Marte, Júpiter e Saturno.



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r1 =       w1 =
r2 =       w2 =
 
tmin =     t =     tmax =     Δt =

Exibir:

Círculo 1 (deferente) Círculo 2 (epiciclo) Raios dos círculos Eixos coordenados

INSTRUÇÕES

No modelo básico proposto por Apolônio de Perga, o planeta (o ponto amarelo) se move com velocidade angular constante sobre um círculo denominado epiciclo (o círculo laranja). O centro do epiciclo, por sua vez, se move com velocidade angular constante sobre um outro círculo denominado deferente (o círculo vermelho).

No aplicativo acima, você pode mudar as medidas dos raios dos círculos (campos r1 e r2) e as velocidades angulares com as quais os pontos se movem (campos w1 e w2). Note que as coordenadas do centro do epiciclo em função do tempo t são dadas por (r1 cos(w1 t), r1 sen(w1 t)). e que as coordenadas do ponto amarelo em função do tempo t são dadas, portanto, por

x = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t).

As funções trigonométricas são calculadas considerando-se w1 t e w2 t como medidas de ângulos em radianos!

Importante: ao especificar um número decimal nos campos de entrada do aplicativo, use um ponto “.” ao invés de uma vírgula “,” (por exemplo, use 1.15 e não 1,15). Você pode entrar com frações (por exemplo, 1/3), potências (por exemplo, 2^3) e raízes quadradas (por exemplo, sqrt(2)). A constante π é representada pela palavra pi (por exemplo, 2 pi para indicar 2 π).

Dica 1: para deixar a animação mais lenta, use números menores para o campo Δt.

Dependendo dos valores dos campos de entrada, talvez seja necessário ajustar a janela de visualização. Para isto, use os ícones

,        e    

para reduzir (zoom out), ampliar (zoom in) e transladar a janela de visualização, respectivamente. Para ampliar ou reduzir, clique no ícone correspondente e, então, dê cliques sucessivos na janela de visualização. Para efetuar uma translação, clique no ícone correspondente e, então, clique e arraste a janela de visualização.

Dica 2: para reiniciar a animação a partir do tempo inicial (tmin), clique no botão “Rebobinar!”.

Dica 3: para reiniciar o aplicativo, clique no botão “Atualizar” do seu navegador ou pressione a tecla F5.

Advertência 1: como toda simulação numérica, o aplicativo desta atividade está sujeito a erros de aproximação e discretização, que podem ser mais ou menos intensos dependendo dos valores escolhidos para os campos de entrada. Nos exercícios propostos no formulário de acompanhamento do aluno, tivemos o cuidado de propor valores onde estes erros podem ser desprezados.

Advertência 2: dependendo do tamanho do intervalo [tmin, tmax], a medida que o tempo evolui, a velocidade da animação pode não ser constante. Isto acontece porque o número de cálculos feitos pelo aplicativo depende do valor de t.


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