A resposta para a questão é SIM!!!

De fato, podemos provar os seguintes resultados:

Seja $f : $IR $ \to $ IR^*₊ uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) que transforma toda progressão aritmética $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$, ... numa progressão geométrica $y_{1}$, $y_{2}$, ..., $y_{n} = f(x_{n})$, .... Se pusermos $k = f(0)$ e $a = \displaystyle\frac{f(1)}{f(0)}$, tem-se $y = f(x) = ka^{x}$ para todo $x \in $ IR.

Seja $f : $ IR $ \to $ IR^*₊ uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) tal que, para $x$ e $\Delta{x}$ $\in$ IR quaisquer, o acréscimo relativo $\displaystyle\frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{f(x)}$ dependa apenas de $\Delta{x}$, mas não de $x$. Então se $k = f(0)$ e $a = \displaystyle\frac{f(1)}{f(0)}$, tem-se $y = f(x) = ka^{x}$ para todo $x \in $ IR.

Não cabe aqui fazer a demonstração desses resultados. O estudante curioso poderá encontrá-las em “A Matemática do Ensino Médio, vol1., da Coleção do Professor de Matemática, da SBM e autoria dos professores E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado”.

Usaremos apenas esses resultados e sua intuição para resolver os seguintes problemas.