Sejam IR o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem: C = {(x, y) em IR2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E: IR → C faz corresponder a cada número real t o ponto E(t) = (x, y) de C do seguinte modo:

A função de Euler E: IR → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta, identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel) de modo que o ponto 0 em IR caia sobre o ponto (1, 0) em C.

Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em IR, P = E(t), dizemos neste caso que o ângulo AOP mede t radianos. Fonte: [Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003].

No aplicativo abaixo, você pode visualizar como a imagem E(t) em C da função de Euler muda de acordo com a escolha de t em IR: clique e arraste o ponto azul sobre o eixo t. Use nos botões “<-” e “->” para transladar a janela de visualização.

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Também é possível definir uma função G: IR → C pondo G(0) = (1, 0) e estipulando que, para s > 0, G(s) é o ponto da circunferência unitária obtido a partir do ponto (1, 0) quando se percorre, ao longo de C, no sentido positivo, um caminho de comprimento 2π s/360 e que, para s < 0, G(s) é o ponto da circunferência unitária obtido a partir do ponto (1, 0) quando se percorre, ao longo de C, no sentido negativo, um caminho de comprimento 2π |s|/360. Note, portanto, que

G(s) = E(2π s/360)     para todo s real.

Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada s em IR, P = G(s), dizemos neste caso que o ângulo AOP mede s graus. O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem comprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1° e 1 radiano = 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que 2π rad = 360°, ou seja,

1 rad = (360/(2π))° = 57.29577951308232087679815481410517033240547246656... graus.

Fonte: [Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003].

No aplicativo abaixo, você pode visualizar como a imagem G(s) em C da função de Euler muda de acordo com a escolha de s em IR: clique e arraste o ponto azul sobre o eixo s. Use nos botões “<-” e “->” para transladar a janela de visualização.

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