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No que se segue, estamos considerando as funções trigonométricas definidas
usando-se o grau como medida de ângulos.
Sabemos que
sen(0) = 0,
sen(30) = 1/2,
sen(90) = 1,
sen(210) = −1/2 e
sen(270) = −1.
Será que existe algum número racional
s para o qual sen(s) é racional e diferente
de −1, −1/2, 0, 1/2 e 1? A resposta
é não, isto é, os únicos valores racionais de sen(s),
para s racional, são justamente −1, −1/2, 0, 1/2 e 1!
Apresentamos a seguir uma prova elementar deste fato, dada por Jörg Jahnel
(o artigo original em inglês pode ser encontrado aqui).
Vamos mostrar que para todo número racional s (considerado como uma medida de ângulos em graus),
cos(s) pertence ao conjunto
V = {−1, −1/2, 0, 1/2, 1}.
Feito isto, através da identidade trigonométrica sen(s) = cos(90 − s),
o resultado também seguirá para a função seno. Observe inicialmente que
cos(2s) = cos(s + s) = cos2(s) − sen2(s) = 2 cos2(s) − 1.
Portanto,
2 cos(2s) = (2 cos(s))2 − 2.
Assuma que 2 cos(s) = a/b é um número racional, com
a e b inteiros, b diferente de zero e mdc(a, b) = 1 (isto é, a e b não possuem um fator primo em comum). Assim:
2 cos(2s) = a2/b2 − 2 = (a2 − 2b2)/(b2).
Afirmamos que a2 − 2b2 e b2
também não possuem fator primo em comum. De fato: suponha, por absurdo, que exista um número primo p que é fator comum de a2 − 2b2 e b2.
Como p divide b2, segue-se que que p divide b.
Se p divide b e p divide a2 − 2b2, então
p divide a. Logo, p seria um fator primo comum de a e b, uma contradição. Agora, se b é igual a −1 ou a 1, então
obrigatorialmente a é igual a −2, −1, 0, 1 ou 2. Mas, nestes casos,
cos(s) é um elemento do conjunto V, como queríamos demonstrar.
Vamos agora mostrar que b não pode ser diferente de −1 e 1. Com efeito, se b é diferente de −1 e 1,
então os denominadores de
2 cos(s),
2 cos(2s),
2 cos(4s),
2 cos(8s),
2 cos(16s), ...,
2 cos(2k s), ...
vão ficando arbitrariamente grandes. Isto significa que os números
2 cos(2k s) acima são todos diferentes.
Por outro lado, dado que s é um número racional, digamos, s = m 360/n,
e dado que cos é uma função periódica de período 360, segue-se que o conjunto
{2 cos(2k s), k natural}
tem no máximo n elementos distintos, uma contradição.
Outras demonstrações podem ser encontradas em
[Underwood, 1921]
(que usa o Teorema de De Moivre) e
[Niven, 1958]
(que usa derivadas).
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