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Guia do Professor
SUMÁRIO


I - ÁREAS DE ENSINO E OBJETIVOS

II - PRÉ-REQUISITOS PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES

III - TEMPO PREVISTO PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES

IV - SOBRE A UTILIZAÇÃO DOS MATERIAIS

a) Comentários sobre os procedimentos na sala de aula

b) Comentários sobre os procedimentos na sala de informática

V - DICAS E COMENTÁRIOS

VI - COMO AVALIAR O ALUNO E ATIVIDADES COMPLEMENTARES
 


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I - ÁREAS DE ENSINO E OBJETIVOS    
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As atividades aqui apresentadas destinam-se ao Ensino Médio e visam ao estudo de Poliedros. Buscam introduzir o aluno no traçado dos poliedros mais elementares (tetraedros regulares e irregulares, pirâmides de base quadrada, octaedros e suas composições), no cálculo de seus volumes, no reconhecimento de poliedros duais e poliedros equivalentes.

Inspirados na obra do artista Albrecht Dürer, foram criados três aparelhos do tipo móbile e um conjunto de peças para montagem e encaixes do tipo quebra-cabeça, que permitem ao aluno ver e, portanto, observar a decomposição de alguns poliedros e a montar as respectivas partes que os compõem.

Considerando-se que os cinco poliedros regulares de Platão são inegavelmente uma das fontes mais ricas para o ensino da geometria espacial, os principais objetivos dos experimentos com alguns desses poliedros, além do reconhecimento das suas formas em suas representações gráficas, é o reconhecimento de seus elementos e o entendimento de estratégias que permitam o cálculo de volumes.


Objetivos das Atividades
 
  • Investigar e reconhecer alguns poliedros de Platão (tetraedros regulares e irregulares, tetraedros truncados, octaedros regulares, pirâmides de base quadrada e suas composições);


  • Construir com materiais concretos, modelos de poliedros do tipo esqueleto, que permitem ter representada a estrutura das suas arestas;
  • Construir com materiais concretos, modelos tipo casca que representem  as faces dos poliedros;


  • Reconhecer desenhos que representem poliedros em perspectiva;


  • Sintetizar argumentações, tomando como base os conhecimentos criados a partir das construções;


  • Saber utilizar relações matemáticas para expressar situações geométricas;


  • Operar, quantitativamente, os dados obtidos por meio da observação das formas dos modelos dos poliedros.


II - PRÉ-REQUISITOS PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES   
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Para construir os modelos concretos que representam os poliedros o aluno deve saber:

  • Reconhecer o que sejam triângulos retângulos e isósceles; polígonos elementares (quadrado, retângulo e trapézio) e seus elementos (alturas, lados etc.)
  • Saber trabalhar com polinômios do segundo grau.


III - TEMPO PREVISTO PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES   
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3 horas/aula, sendo que as construções de algumas partes dos móbiles devem ser realizadas por grupos de alunos como atividade extraclasse.



IV - NA SALA DE AULA   
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Materiais concretos a serem utilizados:

Para realizar as atividades são necessários: papel-cartão, papelão paraná ou acetato, plástico adesivo, fita adesiva, canudos de plástico rígido do tipo usado para segurar balões de ar; canudos de plástico rígido do tipo usado na confecção de pirulitos, linha um pouco mais grossa do que a utilizada para empinar pipas, uma agulha grossa e varetas de madeira do tipo utilizado para churrasco.

 


O que deve ser frisado para a utilização dos materiais?

As construções das peças tipo casca para os quebra-cabeças e que representam as faces dos poliedros,  bem como os esqueletos dos poliedros, podem ser realizadas individualmente, mas a montagem dos móbiles deve ser realizada por grupos de alunos.



V - DICAS E COMENTÁRIOS   
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    Desenhos Frente aos Móbiles e Quebra-Cabeças    


As dificuldades apresentadas por adultos e crianças na interpretação de desenhos de objetos espaciais, bem como na realização de seus traçados, apontam para a grande necessidade de, no Ensino Médio, se trabalhar maneiras alternativas para representar os objetos por meio de traços e se criar desenhos em perspectiva. Ou seja, é preciso se criar estratégias que permitam ao aprendiz “ler” traçados e a “escrever” por meio de traços.

A construção desses aparelhos com canudos e fios, ainda que trabalhosa, é importante por permitir o desenvolvimento da habilidade da visualização. O aluno fortalece a sua percepção espacial, ao acompanhar os esquemas dos desenhos e movimentos dos fios para a obtenção de cada esqueleto.

Você, caro professor(a), conhecia esses tipos de móbiles? As atividades com móbiles têm sido realizadas por alunos com cerca de 16 anos de idade.

Ao observarem as sombras advindas do feixe de luz que atravessa o móbile e se projeta em um plano (geralmente uma parede), o aluno percebe o “achatamento” das figuras tridimensionais em um plano. Muitos alunos desenham, com um lápis, traços sobre as sombras e percebem que se formam “balõezinhos”, “pipas” etc. Outros sentem muitas dificuldades para obter os poliedros a partir das peças dos quebra-cabeças.

A grande maioria das pessoas apresenta dificuldades na construção do octaedro a partir de 4 tetraedros irregulares, pois sempre tentam construir os “balõezinhos” a partir de tetraedros regulares.

A situação geométrica a seguir também causa grandes dificuldades.

Determinar a seção plana obtida pelo corte de um plano que passa pelos pontos médios de quatro arestas de um tetraedro regular. Desenhe-a.


Essa situação pode ser representada de três maneiras diferentes:


    por meio de desenhos em perspectiva, como geralmente aparece nos livros didáticos;

    por modelos dos esqueletos das arestas;

    por meio de peças do tipo casca.


Essas duas últimas formas de representação estão diretamente relacionadas ao Móbile No3.

O aluno que trabalha com ele, percebe mais facilmente que a seção plana desejada é um quadrado.


Características dos Móbiles

Características do Móbile No1: desconstrução do octaedro inscrito no tetraedro regular.

Esse móbile representa a desconstrução do octaedro inscrito em um tetraedro regular. O aparelho permite a percepção e a visualização da existência de tetraedros irregulares de igual volume ao de um determinado tetraedro regular. O aparecimento de tetraedros de mesmo volume se dá pela partição e desmembramento do tetraedro original em várias partes.

A observação visual da região interna de cada parte, ou seja, de cada um dos esqueletos dos tetraedros obtidos na partição, permite comparações e perceber as características de regularidade dos sólidos correspondentes. Nos dois diferentes tipos de tetraedros, um regular e outro irregular, aparece uma altura comum relativamente a uma face, que tem a mesma forma e o mesmo tamanho, ou seja, uma face triangular equilátera congruente.

 

Características do Móbile No2: desconstrução de um tetraedro regular em várias formas geométricas e a obtenção do tetraedro dual.

Nesse Móbile, pode ser observado que o tetraedro regular original, do qual se determina o dual, vai ser formado pelo empilhamento de 16 tetraedros irregulares, os quais formam 4 octaedros regulares, e de mais 11 tetraedros regulares.

Cada tetraedro regular (igual ao dual) tem o mesmo volume de um dos tetraedros irregulares. O móbile permite ver que o tetraedro original tem comprimento de aresta três vezes maior do que a do seu dual.

Características do Móbile No3: duas partes que formam um tetraedro regular.

O móbile no3 descreve as características de regularidade enfatizadas nos outros dois móbiles. Permite perceber que o tetraedro regular original pode ser cortado em duas partes as quais são reconstruídas formando a representação do octaedro inscrito no tetraedro, que pode ser observada no móbile no1.



Para saber mais consulte

  • ÁVILA, G. Geometria e imaginação.  Revista do Professor de Matemática - RPM. Rio de Janeiro: S.B.M, nº 3, 1983, 25-28.


  • JAHN, A. P.; BONGIOVANNI, V. Computador na sala de aula: Algumas possibilidades do software Cabri 3D para o estudo da Geometria Espacial. Revista do Professor de Matemática - RPM. Rio de Janeiro: S.B.M, nº 69, 2009, 50-54.


  • KALEFF, A. M. M. R. Vendo e Entendendo Poliedros. 2ª Ed. Niteroi: EdUFF. 2003.


  • KALEFF, A. M. M. R.; REI, D.M. Incentivando a visualização espacial através de propriedades geométricas de tetraedros duais, Educação e Matemática. Lisboa: A.P.M., no 31, 1996, pp. 6 - 11.


  • ----- Vareta, canudos, arestas...e sólidos geométricos, Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: S.B.M, no 28, 1995, pp 29 - 36


  • ----- Jogos geométricos e formas espaciais, Revista do Professor de Matemática - RPM. Rio de Janeiro: S.B.M, no 31, 1996, 25-31.


  • KALEFF, A. M. M. R.; GARCIA, S.S.; REI, D.M. Como adultos interpretam desenhos e calculam volumes de sólidos construídos por pequenos cubos, Zetetiké. Campinas: Faculdade de Educação - UNICAMP, no 4, ano 6, 1997, p.137-152.
 


VI - COMO AVALIAR O ALUNO E ATIVIDADES COMPLEMENTARES    
O questionário apresentado  pode ser utilizado como instrumento de avaliação. Ou ainda, após realizar as construções, o professor(a) poderá sugerir aos alunos que escrevam um relatório explicando os métodos utilizados nas construções, descrevendo detalhadamente as facilidades e dificuldades apresentadas. A partir dos relatórios individuais, pode-se avaliar a capacidade de argumentação, a lógica de raciocínio, a compreensão correta dos conceitos envolvidos, a organização, a descrição do método utilizado e, ainda, os resultados obtidos.

Em outra situação de avaliação o professor(a) poderá pedir a construção da estrutura de outros tipos de móbiles, como por exemplo,  do que represente  a desconstrução do cubo para a obtenção do seu octaedro dual, ou da decomposição do octaedro para a obtenção do cubo dual etc.

Para o aluno que tem experiência com geometria dinâmica, sugere-se que desenvolva o desenho de um móbile cujos esqueletos sejam realizados no ambiente Calques 3D.
 



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Responsável:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff.
Idealização:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff, Bárbara Gomes Votto.
Programação:
 
Erick Baptista Passos e Manoel Mariano Siqueira Junior.
Revisão:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff e Eduardo Barbosa Pinheiro.

Luzes e Sombras Versão 20/03/2010
Possíveis atualizações e extensões desta atividade estarão disponíveis no endereço http://www.uff.br/cdme/.
Site alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br.

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