POTÊNCIAS DE 11

Considere os elementos da linha 5 do triângulo de Pascal: 1; 5; 10; 5; 1. Cada um destes elementos é o coeficiente da potência de 10 na representação de 115 no sistema decimal, isto é:

115 = 1× 105+5× 104+10× 103+10× 102+5× 101+1× 100
= 100000+50000+10000+1000+50+1
= 161051

Mas note que podemos fazer sequencialmente as seguintes simplificações, indicadas em negrito:

115 = 1× 105+5× 104+10× 103+10× 102+5× 101+1× 100
= 1× 105+5× 104+10× 103+1× 103+5× 101+1× 100
= 1× 105+5× 104+(10+1)× 103+0× 102+5× 101+1× 100
= 1× 105+5× 104+1× 104+1× 103+0× 102+5× 101+1× 100
= 1× 105+(5+1)× 104+1× 103+0× 102+5× 101+1× 100
= 1× 105+6× 104+1× 103+0× 102+5× 101+1× 100
= 100000+60000+1000+50+1=161051

Na penúltima linha, todos os coeficientes das potências de 10 são formados por um único algarismo.


Veja mais um exemplo, agora com os elementos da linha 6: 1; 6; 15; 20; 15; 6; 1.

116 = 1× 106+6× 105+15× 104+20× 103+15× 102+6× 101+1× 100
= 1× 106+6× 105+15× 104+20× 103+(10+5)× 102+6× 101+1× 100
= 1× 106+6× 105+15× 104+20× 103+1× 103+5× 102+6× 101+1× 100
= 1× 106+6× 105+15× 104+(2× 10+1)× 103+5× 102+6× 101+1× 100
= 1× 106+6× 105+(10+5)× 104+2× 104+1× 103+5× 102+6× 101+1× 100
= 1× 106+6× 105+1× 105+7× 104+1× 103+5× 102+6× 101+1× 100
= 1× 106+7× 105+7× 104+1× 103+5×102+6× 101+1× 100
= 1000000+700000+70000+1000+500+60+1=1771561



Isso nos leva ao seguinte esquema, ilustrado para a linha 9: 1; 9; 36; 84; 126; 126; 84; 36; 9; 1.
Essa linha corresponde a 119=2.357.947.691.

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