Definição (Poliedros).
Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos,
onde cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um,
outro polígono. Cada um destes polígonos chama-se uma face do poliedro,
cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta do poliedro e cada
vértice de uma face é também chamado vértice do poliedro [Lima et alii, 2006].
Definição (Poliedros Convexos).
Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior
deste poliedro. Dizemos que um poliedro é convexo se o seu
interior C é convexo, isto é, quando qualquer segmento de reta
que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C.
Em um poliedro convexo toda reta não paralela a nenhuma de suas faces
o corta em, no máximo, dois pontos.
[Lima et alii, 2006].
De acordo com a definição dada acima, um poliedro é a reunião de um
número finito de polígonos planos satisfazendo certas condições. Se
o poliedro é convexo, ele limita uma região do espaço: o seu interior.
A reunião do poliedro com seu interior constitui o que chamamos de um sólido.
Um poliedro é “oco”, enquanto que um sólido é “maciço”.
No que se segue e no software desta atividade, intercambiaremos livremente
os termos poliedro e sólido. Não existe perigo de confusão (pelo menos para
os objetos que aqui estudaremos), pois
um sólido fica definido sem ambiguidades a partir da descrição de sua superfície
(isto é, da sua “casca”, que é o poliedro correspondente) e vice-versa
[Hoffmann, 1989].
Definição (Poliedros Convexos Regulares: Os Sólidos Platônicos).
Um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos
regulares congruentes e em todos os vértices concorrem o mesmo número de
arestas.
[Lima et alii, 2006].
Busto de Platão pertencente ao Museu do Vaticano.
É possível demonstrar que existem apenas cinco poliedros convexos regulares,
os sólidos platônicos:
o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.
Os nomes dos sólidos platônicos foram dados devido a forma pela qual
Platão (427 a.C.-34 a.C.), em um diálogo intitulado Timeu,
os empregou para explicar a natureza.
Definição (Poliedros Convexos Semirregulares: Os Sólidos Arquimedianos).
Um sólido arquimediano é um poliedro convexo
cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo e
cujos vértices
são todos congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo (número e ordem) de polígonos em torno
de cada vértice. [Cundy e Rollett, 1974].
Retrato de Arquimedes na Medalha Fields.
É possível demonstrar que existem apenas treze sólidos arquimedianos:
o tetraedro truncado,
o cuboctaedro,
o octaedro truncado,
o cubo truncado,
o (pequeno) rombicuboctaedro,
o cuboctaedro truncado (ou o grande rombicuboctaedro),
o cubo achatado,
o icosidodecaedro,
o icosaedro truncado,
o dodecaedro truncado,
o (pequeno) rombicosidodecaedro,
o icosidodecaedro truncado (ou o grande rombicosidodecaedro) e
o dodecaedro achatado.
Definição (Sólidos de Catalan).
Os sólidos de Catalan são os poliedros duais dos sólidos arquimedianos
[Cromwell, 1997].
Retrato de Eugène Charles Catalan.
O nome é uma homenagem ao
matemático belga Eugène Charles Catalan que publicou um artigo em 1865 descrevendo
estes sólidos. As faces dos sólidos de Catalan não são regulares.
Definição (Sólidos de Johnson).
Os sólidos de Johnson são poliedros convexos cujas faces constituem polígonos regulares e todas as
arestas possuem o mesmo comprimento, excluindo-se os sólidos platônicos, os sólidos arquimedianos e as
duas famílias infinitas de prismas e antiprismas
[Weisstein, 2009].
Retrato de Norman Johnson.
O nome é uma homenagem ao
matemático Norman Johnson que, em 1966, conjecturou a existência de apenas 92 sólidos satisfazendo
a definição acima. Em 1969, o também matemático Victor Zalgaller provou que a lista de Johnson
era completa.
Retrato de Victor Zalgaller.
Definição (Prismas).
Um prisma é um poliedro convexo que possui duas faces congruentes, chamadas de bases,
e cujas faces restantes, chamadas faces laterais, são compostas por paralelogramos
[Weisstein, 2009].
Um prisma reto é aquele em que as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Num prisma reto, as faces laterais são formadas por retângulos.
Um prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases.
Um prisma regular é aquele cujas bases são polígonos regulares (alguns autores
exigem que um prisma regular também seja reto).
As bases de um prisma definem o seu nome. Por exemplo,
se as
bases forem quadradas, diz-se que o prisma é quadrangular.
Os duais dos prismas são os diamantes (também conhecidos como bipirâmides). Existem infinitos prismas, mesmo regulares.
Definição (Antiprismas).
Um antiprisma é um poliedro convexo formado por duas cópias paralelas
de um mesmo polígono convexo, as bases,
que são conectadas por uma faixa de polígonos triangulares, as faces laterais
[Weisstein, 2009]. Os vértices do antiprisma são dados pelos vértices
de suas bases.
O número de lados das bases definem o nome do antiprisma.
Três lados formam um antiprisma triangular. Cinco lados, um antiprisma pentagonal, e assim por
diante.
Alguns autores exigem, além das condições estabelecidas na definição acima, que
o poliedro tenha todas as faces regulares.
Existem infinitos antiprismas, mesmo regulares.
Se as bases possuem n lados,
então existem 2n faces laterais (triangulares).
Os duais dos antiprismas são os trapezoedros (também conhecidos
como deltoedros).
Os antiprismas foram apresentados por Johannes Kepler, em 1619, no seu livro “A Harmonia dos Mundos”.
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