É possível usar o conceito de dualidade para se construir um dado redondo e honesto (isto é, com probabilidade 1/6 para cada um dos seis valores que ele pode sortear). As marcações do dado redondo são pintadas sobre a superfície de uma esfera usando-se uma disposição análoga à do cubo convencional. Dentro da esfera encontra-se uma cavidade na forma do dual do cubo, um octaedro. Dentro da cavidade, coloca-se uma pequena esfera metálica pesada que fica solta. Quando o dado redondo é lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar com a pequena esfera ocupando a posição de um dos seis vértices do octaedro, fazendo com que o topo da superfície esférica apresente uma das seis marcações.

Um conjunto de dados redondos.

Estrutura interna de um dado redondo.

Uma planificação de um poliedro é o resultado do processo de se cortar o poliedro ao longo de curvas e, então, abri-lo de forma que ele possa ser disposto sobre uma superfície plana, sem sobreposições e sem deformações das faces. Uma planificação por arestas é aquela obtida por cortes ao longo das arestas do poliedro.

O registro mais antigo de planificações de poliedros é feito na obra “Underweysung der messung / mit dem zirckel un richtscheyt / in Linien ebenen und gantzen corporen / durch Albrecht Dürer zusammen getzogen / und zu nutz allen kunstliebhabenden mit zugehörigen figuren / in truck gebracht im jar MDXXV” (em português, “Instruções para a medida / com régua e compasso / das linhas, planos e corpos sólidos / reunidas por Albrecht Dürer / e impressas com as figuras correspondentes / para o uso de todos os amadores da arte / no ano de MDXXV”) do artista alemão Albretch Dürer (1471-1528), que a escreveu com o propósito de fornecer um guia para que pintores fizessem ilustrações corretas, isto é, respeitando-se as leis da teoria da perspectiva.

Albretch Dürer (1471-1528).

Planificação feita por Dürer.

Muito mais do que aplicações artísticas, o estudo da planificação de poliedros tem aplicações em design industrial (na confecção de moldes de vinil e decomposições de chapas metálicas). Existem, no mercado, softwares especializados no cálculo de planificações de superfícies poliedrais.

Fotos: Lundström Design.

O tetraedro regular possui 2 planificações diferentes. O cubo e o octaedro regular possuem 11 planificações diferentes. O icosaedro regular e o dodecaedro regular possuem 43380 planificações diferentes. Ainda não se sabe se todo poliedro convexo possui uma planificação por arestas. Sabe-se, contudo, que existem poliedros não convexos que não possuem uma tal planificação.

Dependendo do poliedro, o algoritmo de planificação do software desta atividade pode gerar planificações não estritas, isto é, com sobreposição de peças ou múltiplos pedaços.

O grande matemático suíço Leonhard Euler (1707–1783), em 14 de novembro de 1750, escreveu uma carta para seu amigo (também matemático) Christian Goldbach (1690–1764) apresentando uma “propriedade geral de estereometria” que hoje, em sua homenagem, é conhecida como a fórmula de Euler: se V, A e F são, respectivamente, o número de vértices, arestas e faces de um poliedro, então a relação

é válida para a classe de poliedros que são homeomorfos a uma esfera (“homeo” = mesmo, “morfo” = forma).

Selo suíço comemorando os 300 anos do nascimento de Euler.

Intuitivamente, se um poliedro é homeomorfo a uma esfera e se considerarmos que ele é feito de borracha, ao se injetar ar neste poliedro, ele se deformará em uma esfera. Poliedros convexos são sempre homeomorfos a uma esfera e existem poliedros não convexos que também são homeomorfos a uma esfera.

Poliedros convexos são sempre homeomorfos a uma esfera (clique na figura para ampliar).

Exemplo de um poliedro não convexo homeomorfo a uma esfera (clique na figura para ampliar).

O poliedro abaixo não é homeomorfo a uma esfera. Se ele fosse feito de borracha, ao se injetar ar neste poliedro, ele se deformaria em um toro (um objeto na forma de um pneu).

Exemplo de um poliedro não homeomorfo a uma esfera (clique na figura para acessar o modelo 3D).

A propósito, para poliedros que são homeomorfos a um toro, vale a seguinte relação: V − A + F = 0. Mais geralmente, para um poliedro com G buracos passando por ele, vale que:

Os números G e V − A + F são denominados, respectivamente, gênero e característica de Euler do poliedro. Pode-se demonstrar que se um poliedro tem gênero G, então ele é homeomorfo a uma esfera (oca) com G alças. Para criar uma alça em uma esfera, basta abrir dois buracos e colar um cilindro entortado, como ilustra a figura abaixo.

Como criar uma alça em uma esfera.

Outras generalizações da fórmula de Euler que incluem outras definições de poliedros podem ser encontradas no excelente artigo [Grünbaum & Shephard, 1994]. Para a classe de poliedros convexos, recomendamos [Lima, 1991]. Finalmente, [Wagner, 2001] demonstra o seguinte teorema interessante: existe um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces se, e somente se,

Ao jogarmos um dado cúbico construído com um material homogêneo, sua simetria garante que cada uma de suas seis faces tenha a mesma probabilidade de ficar para cima no final do lançamento (no caso, esta probabilidade é 1/6). Existem outros poliedros convexos que poderiam ser usados para a confecção de um dado honesto? Para responder a esta pergunta, devemos procurar por poliedros convexos para os quais qualquer face pode ser levada para qualquer outra face por uma rotação, uma reflexão ou uma composição de ambas, transformando o poliedro em si mesmo. Usando-se álgebra (teoria de grupos) e geometria, é possível mostrar que existem apenas 30 classes de poliedros que possuem esta característica, os assim denominados isoedros, disponíveis no software desta atividade. Cinco destas classes são infinitas: diedro triangular (2n lados), diedro trapezoidal básico (2n lados), diedro trapezoidal assimétrico (2n lados), diedro triangular assimétrico para cima-para baixo (4n lados), diedro triangular assimétrico para dentro-para fora (4n lados).

Fotos: Alea Kybos' Dice Collection.

Em Computação Gráfica, poliedros são usados como uma malha de controle para a representação de superfícies suaves e mais complicadas. A superfície suave final é obtida através de um processo recursivo que subdivide cada face do poliedro em subfaces menores. Esta técnica foi proposta originalmente por Ed Catmull (presidente e cofundador da Pixar Animation Studios) e James H. Clark.

Suavizando a malha de controle de um modelo 3D de um cavalo.