Atividade: projeções ortogonais

Aluno(a): _______________________________________________________________________________ Turma: ______
Professor(a): __________________________________________________________________________________________

PARTE 1	

[01] Verdadeiro ou falso? A projeção ortogonal de um segmento de reta nos planos xy, xz e yz é sempre um segmento de reta. Justifique sua resposta! Sugestão: estude os “Objetos de Estudo” do software da atividade!

[02] Verdadeiro ou falso? Se dois objetos possuem as mesmas projeções ortogonais nos planos xy, xz e yz, então estes objetos são iguais. Justifique sua resposta! Sugestão: estude os “Objetos de Estudo” do software da atividade!

[03] Verdadeiro ou falso? Se um segmento de reta tem comprimento l, então suas projeções ortogonais nos planos xy, xz e yz, também possuem comprimento l. Justifique sua resposta! Sugestão: estude os “Objetos de Estudo” do software da atividade!

[04] No software da atividade, selecione a categoria “Objetos de Estudo” e, então, selecione a opção “Segmento de Reta”. Denote por L o comprimento deste segmento. Se os Controles 2 e 3 da aba “Rotação” possuem valor 0 (zero), então o valor do “Controle 1” determina o ângulo (medido em graus) do segmento de reta com o plano xy (verifique!).

(a)	Nos controles da aba “Rotação”, coloque “Controle 1” =  0, “Controle 2” = 0 e “Controle 3” = 0. Qual é o comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta no plano xy?
(b)	Nos controles da aba “Rotação”, coloque “Controle 1” = 45, “Controle 2” = 0 e “Controle 3” = 0. Qual é o comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta no plano xy?  E da projeção no plano yz? E da projeção no plano xz?
(c)	Nos controles da aba “Rotação”, coloque “Controle 2” = 0 e “Controle 3” = 0. Qual é o comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta no plano xy em função do valor do “Controle 1”?

PARTE 2	

[01] No software da atividade, selecione a categoria “Curvas no Espaço” e, então, selecione a opção “Hélice Circular”. Esta curva é obtida marcando-se, para cada t no intervalo [0, 8 ], os pontos no espaço com coordenadas

(x(t), y(t), z(t)) = (cos(t), sen(t), t).

Qual é a projeção ortogonal da hélice no plano xy? E no plano xz? E no plano yz? Justifique sua resposta! Dica: a partir das coordenadas que definem a curva, tente “eliminar” a variável t, obtendo equações só em termos de x, y ou z. Importante: ao fazer sua análise, certifique-se que os valores dos controles da aba “Rotação” são todos iguais a zero.

[02] No software da atividade, selecione a categoria “Curvas no Espaço” e, então, selecione a opção “Curva Interessante 1”. Esta curva é obtida marcando-se, para cada t no intervalo [1.2, 1.2], os pontos no espaço com coordenadas

(x(t), y(t), z(t)) = (t, t2, t2).

Qual é a projeção ortogonal da Curva Interessante 1 no plano xy? E no plano xz? E no plano yz? Justifique sua resposta! Dica: a partir das coordenadas que definem a curva, tente “eliminar” a variável t, obtendo equações só em termos de x, y ou z. Importante: ao fazer sua análise, certifique-se que os valores dos controles da aba “Rotação” são todos iguais a zero.

[03] No software da atividade, selecione a categoria “Curvas no Espaço” e, então, selecione a opção “Curva Interessante 2”. Esta curva é obtida marcando-se, para cada t no intervalo [1.2, 1.2], os pontos no espaço com coordenadas

(x(t), y(t), z(t)) = (t, t2, t3).

Qual é a projeção ortogonal da Curva Interessante 2 no plano xy? E no plano xz? E no plano yz? Justifique sua resposta! Dica: a partir das coordenadas que definem a curva, tente “eliminar” a variável t, obtendo equações só em termos de x, y ou z. Importante: ao fazer sua análise, certifique-se que os valores dos controles da aba “Rotação” são todos iguais a zero.

[04] No software da atividade, selecione a categoria “Curvas no Espaço” e, então, selecione a opção “Curva de Viviani”. Esta curva é obtida marcando-se, para cada t no intervalo [0, 2 ], os pontos no espaço com coordenadas

(x(t), y(t), z(t)) = (cos2(t), cos(t) sen(t), sen(t)).

Qual é a projeção ortogonal da Curva de Viviani no plano xy? E no plano xz? Justifique sua resposta! Dica: a partir das coordenadas que definem a curva, tente “eliminar” a variável t, obtendo equações só em termos de x, y ou z. Importante: ao fazer sua análise, certifique-se que os valores dos controles da aba “Rotação” são todos iguais a zero.

PARTE 3	

[01] (Poliedros Equiprojetivos) A projeção ortogonal de um poliedro convexo no plano xy é um polígono convexo. Se você girar o poliedro, sua sombra (projeção ortogonal) neste plano também mudará (faça algumas experiências com o software da atividade).  Dizemos que o poliedro está em uma posição regular com relação ao plano xy se, depois de girá-lo, nenhuma de suas faces é paralela ao eixo z. Por exemplo, o cubo não está em posição regular com relação ao plano xy nas Figuras (a) e (b) a seguir. Na Figura (c) ele está em posição regular.

(a)	(b)	(c)	

Dizemos então que um poliedro convexo é equiprojetivo se existe um número natural k tal que, para toda posição regular do poliedro convexo com relação ao plano xy, sua sombra neste plano é um polígono de k lados.

(a)	Dê valores para os controles “Controle 1”, “Controle 2” e “Controle 3” (disponíveis na aba “Rotação” do software da atividade) que colocam cada poliedro especificado em posição não regular. Observação: para fornecer um valor com mais casas decimais, digite o número no campo de entrada  do controle (use um ponto “.” ao invés de uma vírgula “,” para números decimais) e, então, pressione a tecla “ENTER”.

Posição Não Regular	
Categoria	Poliedro	Valor do Controle 1	Valor do Controle 2	Valor do Controle 3	
Sólidos Platônicos	Cubo				
Sólidos Platônicos	Tetraedro				
Sólidos Platônicos	Octaedro				
Sólidos Platônicos	Dodecaedro				
Prismas	Regular de Base Pentagonal				
Prismas	Regular de Base Triangular				

(b)	Dê valores para os controles “Controle 1”, “Controle 2” e “Controle 3” (disponíveis na aba “Rotação” do software da atividade) que colocam cada poliedro especificado em posição regular. 

Posição Regular	
Categoria	Poliedro	Valor do Controle 1	Valor do Controle 2	Valor do Controle 3	
Sólidos Platônicos	Cubo				
Sólidos Platônicos	Tetraedro				
Sólidos Platônicos	Octaedro				
Sólidos Platônicos	Dodecaedro				
Prismas	Regular de Base Pentagonal				
Prismas	Regular de Base Triangular				

(c)	O tetraedro é um poliedro equiprojetivo? E o octaedro? E o dodecaedro? E o icosaedro? Justifique sua resposta! Em caso negativo, forneça valores para os controles da aba “Rotação” que coloque o poliedro em posições regulares com sombras no plano xy com número de lados diferentes. 

(d)	Os poliedros listados a seguir são equiprojetivos. Colocando-os em (qualquer) posição regular, determine o número de lados (que é constante!) de sua sombra no plano xy.

Poliedros Equiprojetivos	
Categoria	Poliedro	Número de Lados da Sombra no Plano xy	
Sólidos Platônicos	Cubo		
Prismas	Oblíquo de Base Triangular		
Prismas	Oblíquo de Base Quadrangular		
Prismas	Oblíquo de Base Pentagonal		
Prismas	Oblíquo de Base Hexagonal		
Sólidos de Catalan	Dodecaedro Rômbico		
Sólidos de Catalan	Triacontaedro Rômbico		

PARTE 4	

[01] No software da atividade, selecione a categoria “Objetos de Estudo” e, então, selecione a opção “Quadrado”. Clique na aba “Rotação” e use os três controles deslizantes para girá-lo. Como você posicionaria este quadrado para que sua projeção ortogonal no plano xy tenha área máxima? E área mínima?

[02] No software da atividade, selecione a categoria “Sólidos Platônicos” e, então, selecione a opção “Cubo”. Clique na aba “Rotação” e use os três controles deslizantes para girá-lo. Como você posicionaria este cubo para que sua projeção ortogonal no plano xy tenha área máxima? E área mínima?