De fato, podemos provar os seguintes resultados:

Uma condição necessária e suficiente para que uma função contínua $f : $ IR $ \to $ IR seja quadrática é que toda progressão aritmética $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$, ... seja transformada por $f$ numa progressão aritmética de segunda ordem não degenerada $y_{1} = f(x_{1})$, $y_{2} = f(x_{2})$, ..., $y_{n} = f(x_{n})$, ....

De modo mais suave: a resposta para pergunta é sim. Melhor dizendo: se $f : $ IR $ \to $ IR é uma função contínua * que transforma toda progressão aritmética $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$, ... em uma progressão aritmética de segunda ordem não degenerada $y_{1} = f(x_{1})$, $y_{2} = f(x_{2})$, ..., $y_{n} = f(x_{n})$, ..., então $f$ é uma função quadrática.

Não cabe aqui fazer a demonstração desse resultado. Caso você tenha curiosidade poderá encontrá-las em "A Matemática do Ensino Médio, vol1., da Coleção do Professor de Matemática, da SBM e autoria dos professores E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado". 

Uma outra alternativa é pedir para o seu professor fazer a demonstração desse resultado. 

Temos certeza que ele não irá negá-lo, pois você, com essa atitude, terá dado sinal que gosta muito de matemática!

Mas aqui no nosso material usaremos apenas esses resultados e sua intuição matemática para resolver alguns problemas do cotidiano.

(*) Grosso modo dizemos que uma função é contínua se para desenhar o seu gráfico não tiramos o lápis do papel. Se você for fazer um curso na área de ciências exatas numa universidade você terá oportunidade de precisar este conceito de continuidade.