Atividade: o número de ouro

Aluno(a): _____________________________________________________________ Turma: ______
Professor(a): ________________________________________________________________________

PARTE 1	

[01] Marque nas figuras abaixo os elementos áureos que você encontrou em cada figura!

        

[02]  Na ilustração Der Mensch das Mass aller Dinge, Neufert indica explicitamente a presença da razão áurea para segmentos verticais através dos símbolos “m” e “M” girados de 90. Ele não faz isto para segmentos horizontais. É possível concluir que, na figura abaixo, o ponto X realmente divide o segmento AB na razão áurea? Justifique sua resposta!

PARTE 2	

[01] Quais são os valores de a e b que você escolheu para aproximar o formato da concha do náutilo por  uma espiral logarítmica?

[02] Explique, com suas palavras, quais são os efeitos geométricos que o fator de escala a e o fator de crescimento b têm sobre o formato da espiral logarítmica. O que acontece se b = 0? E se a = 0?

[03] (Opcional) Alguns autores permitem que o fator de crescimento b de uma espiral logarítmica assuma valores negativos também. Qual é a diferença entre as espirais logarítmicas

r = a e+|b|     e    r = a e|b| ?

PARTE 3	

[01] Indique na tabela abaixo os valores de k = CD/AB que você encontrou para os elementos anatômicos considerados por Vitruvius.

CD	AB	k = CD/AB	
Altura.	Comprimento dos braços estendidos.
		
Altura.
	Distância entre a raiz do cabelo e a linha do queixo.		
Altura.
	Largura máxima dos ombros.
		
Altura.
	Distância do topo da cabeça para a linha inferior do queixo.		
Altura.
	Distância do topo da cabeça para a linha dos mamilos.		
Altura.
	Distância do cotovelo para a axila.
		
Altura.
	Distância do cotovelo para a ponta da mão.		
Altura da cabeça.
	Distância da linha do queixo para o nariz.		
Altura.
	Comprimento da mão.		
Altura da face.
	Distância da raiz do cabelo para a linha
das sobrancelhas.		
Altura.
	Distância do topo da cabeça até a linha inferior do pescoço.		

[02] Vitruvius indica que o comprimento do pé de um homem deve ser igual a um sexto de sua altura. Leonardo da Vinci desenhou o pé do O Homem Vitruviano seguindo esta orientação?

PARTE 4	

[01] Uma fotografia de um segmento dividido em duas partes iguais pode exibir um segmento dividido na razão áurea?

[02] Mona Lisa é retratada com o rosto ligeiramente virado para a sua esquerda no quadro pintado por Leonardo da Vinci. O que aconteceria com as proporções do seu rosto em um quadro onde ela estivesse com o rosto posicionado de frente para o pintor?

PARTE 5	

[01] Mostre que o número de ouro  é uma raiz da função quadrática  f(x) =  x2  x  1. Mostre que a outra raiz é 1/.

[02] Usando que o número de ouro satisfaz a equação 2 =   + 1, calcule 4 + 3   (você pode calcular este número sem uma calculadora!).

[03] Sem usar uma calculadora, calcule o valor exato dos seguintes números (, como sempre, representa o número de ouro):

[04] Mostre que

[05] Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular e a diagonal CE está dividida em três segmentos de comprimentos x, y e z. Demonstre que x/y = , (x + y)/z =  e (x + y + z)/(x + y) = . Mais ainda, demonstre que se y = 1, então x = , (x + y) = 2 e (x + y + z) = 3.

[06] Por que a construção com régua e compasso descrita no item (7) da Parte 5 (Algumas Propriedades Matemáticas do Número de Ouro) de fato produz o ponto X que divide o segmento AB na razão áurea?

[07] Enquanto que a razão de ouro  é a raiz positiva da função quadrática  f(x) = x2  x  1, a razão de prata  (em inglês, silver ratio) S é a raiz positiva da função quadrática g(x) = x2  2 x  1. Calcule o número de prata!

PARTE 6	

[01] Considere a equação quadrática Fn x2 = Fn  1 x + Fn  2. Explique por que x = 1 é uma solução desta equação e por que x = (Fn  1/ Fn)    1 é a outra.

[02] (Opcional) Usando a fórmula de Binet, mostre que quando n tende para infinito, o quociente Fn + 1/Fn tende para .

[03] (Opcional) O objetivo deste exercício é deduzir a fórmula de Binet usando matrizes.  O volume 2 da coleção “A Matemática do Ensino Médio” de E. L. Lima et alii apresenta uma outra demonstração para a fórmula de Binnet através de um teorema de caracteriza soluções de recorrências lineares de segunda ordem.

(a)	Mostre que para todo n  3, 

(b)	Mostre que para todo n  3,

(c)	Mostre que

(d)	Mostre que para todo n  3,

(e)	Mostre que para todo n  3,

(f)	Lembrando que F1 = 1 e F2 = 1, use a equação matricial acima para deduzir a fórmula de Binet. Dica: use que n + n  1  = n  1 ( + 1) = n  1 2 = n  + 1 e que 1 + 2/ é igual a raiz quadrada de 5.

PARTE 7	

[01] Procure no YouTube (http://www.youtube.com.br) por vídeos relacionados com o número de ouro. Inclua na sua pesquisa vídeos em espanhol (número de oro), vídeos em inglês (golden number) e vídeos em francês (nombre d'or). Faça então uma análise crítica das imagens. Os elementos áureos estão posicionados de forma a realmente indicar uma região de interesse? Ao enquadrar um retângulo áureo, por exemplo, parte da região de interesse ficou de fora? Você pode começar sua análise a partir do desenho animado Donald no País da Matemática (http://www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY).