No Livro VI dos Elementos, Euclides dá a seguinte definição: um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo.

Supondo que o segmento todo tem comprimento 1 e que segmento maior tem medida x, então a definição de Euclides pode ser traduzida na seguinte equação:

Daí, segue-se que x2 + x − 1 = 0 e, como x é positivo, obtemos que

Consequentemente,

O número de ouro é a única raiz positiva da função quadrática y = f(x) = x2 − x − 1.

Vale que

O número de ouro está presente no pentágono regular! Considere um pentágono regular cujos lados medem 1. Então sua diagonal d tem medida igual ao número de ouro.

De fato: considere a figura acima, onde o pentágono regular ABCDE tem lado 1 e P é o ponto de interseção das diagonais AD e BE. O triângulo PDE é isósceles, com DE = DP = 1. Escrevendo AP = 1/x, temos que

é o comprimento da diagonal do pentágono. Observe que o triângulo APE é isósceles e, portanto,

Como os triângulos ABD e PDE são semelhantes, temos que

Usando que d = 1 + 1/x, chegamos à equação quadrática x2 − x − 1= 0, donde

Consequentemente

O número de ouro também está presente no decágono regular! Clique sucessivamente nos botões “−>” e “<−” abaixo para ver como as diagonais de um decágono regular geram vários segmentos divididos na razão áurea. Desafio: tente demonstrar que estes segmentos estão, de fato, divididos na razão áurea.

O número de ouro também está presente no dodecaedro regular e no icosaedro regular! Na figura abaixo, os três retângulos inscritos no icosaedro regular são retângulos áureos (e são perpendiculares entre si)! Para girar a figura, clique e arraste.

É possível dividir um segmento AB na razão áurea usando régua e compasso apenas. Clique sucessivamente nos botões “<-” e “->” abaixo para ver os vários passos que compõem a construção.