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ATIVIDADE 4
Descobrindo a Generalização do Teorema de Pitágoras com o Tangram Pitagórico com Semicírculos


Para realizar esta atividade você precisará construir um artefato modelador.

  • CONSTRUÇÃO DO ARTEFATO MODELADOR PARA O JOGO PITAGÓRICO COM SEMICÍRCULOS

    Material Necessário: 4 folhas de papel-cartão ou emborrachado fino (com cerca de 3mm) de cores diferentes, 1m de plástico adesivo transparente, cola em bastão, um fio de linha grossa.

    Procedimento: Imprima o esboço gráfico.

    Desenhe duas cópias de cada uma das a figuras geométricas sobre o papel cartão, considerando as diversas cores e as formas como desenhadas.

    Recorte as figuras desenhadas.

    Coloque um pedaço de fio entre as duas “lúnulas” pequenas, deixando 3cm saindo de cada um dos vértices. Faça o mesmo para as “lúnulas” maiores.

    Cole as figuras de mesma forma duas a duas, tomando o cuidado de colar as pontas dos fios entre os semicírculos que ficarão adjacentes às “lúnulas”.

    Cole as figuras sobre o plástico adesivo, seguindo os exemplos, deixando um espaçamento mínimo de 3 mm entre cada figura.
    Recubra o outro lado de cada conjunto de figuras com o plástico, unindo por pressionamento, cada conjunto de duas partes plásticas, o qual formará cada uma das dobradiças do artefato modelador.

    Recorte cuidadosamente as dobradiças entre as “lúnulas” e os semicírculos, deixando 4mm nas extremidades.

    Agora que você já construiu o material, volte para a atividade.


    Foto do Artefato do acervo do LEG.
Observe o desenho a seguir, ele representa um problema proposto na Grécia há mais de 2400 anos e que pode ser colocado como:

a) Qual é a relação entre as áreas do triângulo retângulo e a soma das áreas das “lúnulas” desenhadas em vermelho?

b) Você reconhece alguma relação entre os jogos anteriores, esse problema e o Teorema de Pitágoras?

c) Pegue o artefato modelador constituído por semicírculos e dobradiças. Tente mexer com os semicírculos e obter as “lúnulas”. O que você percebe?

Veja uma versão dessa situação em um jogo eletrônico  

   Exercício importante!!!

No jogo eletrônico, construa uma configuração como a que obteve com o artefato modelador.

Pressionando a tecla Ctrl e clicando sobre todas as peças, calcule a área das figuras geométricas. Observe as relações entre as áreas.

O que você conclui das atividades realizadas?

  
  • Revendo as atividades e resumindo as ideias

    Você deve ter percebido que todas as atividades realizadas estão interligadas.

    Se considerar um triângulo retângulo de catetos b, c e hipotenusa a, então

    a2 = b2 + c2, então, πa2 = π(b2 + c2), de onde 1/4 πa2 = 1/4 πb2 + 1/4 πc2 e então,

    π(1/2a)2 = π(1/2b)2 + π(1/2c)2.

    De onde, 1/2 π(1/2a)2 = 1/2 π(1/2b)2 + 1/2 π(1/2c)2.

    Observe que, nos desenhos, esta expressão representa a soma das áreas K = C + c. Ou seja:

    a soma das áreas dos dois semicírculos cujos diâmetros são os catetos do triângulo retângulo, é igual à área do semicírculo desenhado junto à hipotenusa.

    Portanto, vale o teorema de Pitágoras para semicirculos justapostos aos lados e à hipotenusa.

    Além disso, K = S + s + T; C = L + S; c = l + s. Assim, S + s + T = K = C + c = L + S + l + s = S + s + L + l.

    Isto é, S + s + T = K = S + s + L + l. Então, T = L + l.

    Dessa forma, a soma das áreas das duas “lúnulas” é igual à área do triângulo retângulo T.

     


Creative Commons License

Responsável:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff.
Idealização:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff e Bárbara Gomes Votto.
Programação:
 
Carol Cruz de Carvalho, Erick Baptista Passos, Manoel Mariano Siqueira Junior, Rafael Machado Alves e Wagner Luiz Oliveira dos Santos.
Revisão:
 
Anne Michelle Dysman Gomes.

Elaborado no LEG - Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense.
Tangrans Pitagóricos Versão 20/03/2010
Possíveis atualizações e extensões desta atividade estarão disponíveis no endereço http://www.uff.br/cdme/.
Site alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br.
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