Conteúdos Digitais em Matemática para o Ensino Médio

Variação da função exponencial

   Seja $f : $ IR $ \to $ IR definida por $y = f(x) = ka^{x}$ uma função do tipo exponencial, onde $k$ é um número real não-nulo e $a$ é a base da função exponencial.

   Seja $x$ um ponto qualquer do domínio de $f$ e $\Delta{x}$ um incremento da variável $x$. Definimos a variação de $f$ (ou simplesmente, a variação de $y$) em relação ao incremento $\Delta{x}$ por $\Delta{y} = f(x + \Delta{x}) - f(x)$.

   Denominamos então a taxa de variação relativa ou acréscimo relativo da função a razão $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y} = \displaystyle\frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{f(x)}$.

   Resolva a atividade a seguir.

Atividade 5

No painel a seguir escolha inicialmente valores para os números $a$ e $k$ da função do tipo exponencial $y = f(x) = ka^{x}$ (basta deslocar os botões associados às letras correspondentes). Em seguida, escolha um valor $x_{0}$ (termo inicial da progressão aritmética $(x_{n})$) e outro para $\Delta{x}$ (razão da progressão aritmética $(x_{n})$). A tabela ao lado do painel registra então os valores de $x_{n}$, $f(x_{n})$ e $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ em cada uma de suas colunas.

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$x_{n}$

$f(x_{n})$

$\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$

Responda agora as seguintes questões:

5.1 - O que você observa em relação aos valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$?

Os valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ permanecem constantes

Os valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ aumentam à medida que os valores de $x$ aumentam

Os valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ diminuem à medida que os valores de $x$ aumentam

Atividade 6

Escolha inicialmente valores para os números $a$ e $k$ da função do tipo exponencial $y = f(x) = ka^{x}$ (para isso, clique e arraste, respectivamente os botões verde e vermelho). Em seguida, escolha um valor para $\Delta{x}$ (clique e arraste o botão preto).

$\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y} = $

Agora varie o valor de $x$ (para isso, clique e arraste o botão rosa) e responda as seguintes questões:

6.1 - O que você observa em relação aos valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ à medida que varia o valor de $x$?

Os valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ permanecem constantes

Os valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ aumentam à medida que os valores de $x$ aumentam

Os valores de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ diminuem à medida que os valores de $x$ aumentam

6.2 - Assim, com base nas atividades 5 e 6 podemos concluir que a taxa de variação relativa $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{y}$ de uma função do tipo exponencial $y = f(x) = ka^{x}$:

não depende da variável $x$, mas apenas do incremento $\Delta{x}$ escolhido

depende da variável $x$ e do valor $\Delta{x}$ escolhido.

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