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DESAFIO

JOGO DO LAGARTO GEOMÉTRICO

Suponha que você tenha construído as peças do Jogo do Lagarto com um material do tipo emborrachado e com 1cm de espessura.

Se tivesse de construir uma caixa para guardar este jogo, que forma geométrica ela deveria ter?

Isto é, se você pensasse em uma caixa com o formato de um prisma, com cerca de 1cm de altura, pois esta é a espessura do emborrachado das peças, e cuja base tivesse uma área que permitisse colocar todas elas, como acha que deveria ser a forma do fundo da caixa?

Observe que o desenho do animalzinho é uma figura muito irregular. Se você conseguisse transformá-la em uma figura geométrica regular seria muito mais fácil calcular a sua área e, daí o tamanho do fundo da caixa. Se você não tem ideia de como fazer isso, realize a atividade a seguir.


a) Fazendo uso de etiquetas, enumere as peças do Jogo do Lagarto conforme indicado na foto.

b) Utilizando todas as peças você conseguiria transformar o lagarto em alguma figura geométrica? Está muito difícil? Como seria a caixa para guardar o jogo?

  • Tente transformar o lagarto em um polígono de 6 lados.

Foto do acervo do LEG.

c) Coloque o hexágono regular que você montou sobre uma folha de papel em branco e, com um lápis, contorne-o. Com uma régua, trace as diagonais que passam pelo centro do polígono desenhado. Quantas diagonais podem ser traçadas? Em quantas partes o hexágono foi dividido?

d) Meça a distância entre o ponto central do hexágono e cada um dos vértices. Será que existe alguma relação especial entre as distâncias medidas? E quanto aos polígonos desenhados no hexágono, há alguma relação entre eles?

e) Trace a mediatriz de um dos lados do hexágono. Observe que a mediatriz traçada, não apenas divide o lado ao meio, como passa pelo ponto central.

f) Daria para você calcular a área do hexágono?

g) O que se pode dizer sobre a área ocupada pelas peças do jogo e pela figura do lagarto?
  • Polígonos Equivalentes:
    Formas Planas Regulares e Irregulares de mesma Área


    Foto do acervo do LEG.

    Você deve ter percebido que todas as peças, exceto a peça 7, precisaram ser rodadas sobre a superfície da mesa até chegarem à posição final, e que as peças 2, 3 e 5 também mudaram de lugar, por meio de outros movimentos, além de terem sido rodadas.

    Você poderá perceber que as distâncias medidas são constantes e que os triângulos que compõem o hexágono regular são congruentes.

    Você deve ter notado que a área do hexágono regular é obtida a partir de sua decomposição em 6 triângulos equiláteros. Daí, para descobrir sua área basta saber a área do triângulo e multiplicá-la por 6.

    Você notou que o lagarto é formado pelas mesmas peças que o hexágono regular? Portanto, suas áreas são iguais.

    Deu para perceber como ficou fácil calcular o tamanho do fundo da caixa para guardar o jogo?

    Percebeu que, se você tivesse uma caixa na forma de um prisma hexagonal com a mesma área da figura do lagarto resolveria o desafio?

    Embora, o hexágono regular e o polígono do lagarto apresentem formatos tão diferentes, eles ocupam a mesma quantidade de superfície do plano, portanto a mesma área.

    Você sabia que em Geometria, quando os polígonos têm áreas iguais, eles são chamados de equivalentes?
Veja uma versão eletrônica desse jogo   

Exercício importante!!!     

 

No jogo eletrônico, pressionando a tecla Ctrl e clicando sobre todas as peças, calcule a área total do lagarto e do hexágono.

O que você conclui?

Viu como esses lagartos são legais e como nos dão lições de geometria?  

Curiosidade Artística!!!

Escher, o Mosaico e os Jogos do Lagarto

O mosaico e os jogos do lagarto, como aqui considerados, são baseados em uma litografia criada pelo ilustrador holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972) em 1943. Veja Reptiles, lithograph.

Essa obra é muito interessante e muito complexa, e nem sempre fácil de ser entendida. O artista começou esta litografia em 1939, a partir de um simples esboço de um esquema do lagarto, muito parecido com o do jogo. A ideia original é justapor tais esquemas, repetindo-os para preencher uma superfície plana.

A justaposição das figuras desenhadas segue dois movimentos que podem ser descritos por argumentos matemáticos: pelo movimento da rotação do desenho do lagarto em um ângulo de 120o em torno de três diferentes pontos de rotação e pela justaposição de tais esquemas compondo relações de simetria axial.

A obra acabada, intitulada Répteis, descreve os lagartos “saindo” desta superfície com esquemas justapostos, ou seja, os apresenta como se estivessem se movimentando para “fora” do plano da gravura para o espaço, pois apresenta os répteis, agora desenhados com todos os detalhes e em perspectiva, como se estivessem “rastejando para fora” da superfície plana da mesa e “subindo sobre um livro”.

     


Creative Commons License

Responsável:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff.
Idealização:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff e Bárbara Gomes Votto.
Programação:
 
Carol Cruz de Carvalho, Erick Baptista Passos, Manoel Mariano Siqueira Junior, Rafael Machado Alves e Wagner Luiz Oliveira dos Santos.
Revisão:
 
Anne Michelle Dysman Gomes.

Elaborado no LEG - Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense.
Jogos Artísticos Geométricos Versão 20/03/2010
Possíveis atualizações e extensões desta atividade estarão disponíveis no endereço http://www.uff.br/cdme/.
Site alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br.
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conteudosdigitais@im.uff.br.