A PIPA TETRAÉDRICA DE ALEXANDER GRAHAM BELL

O cientista escocês Alexander Graham Bell (1847-1922) é conhecido pela sua contribuição para o advento do telefone. Sua patente para este invento (revogada em 2002 pelo Congresso dos Estados Unidos em favor de Antonio Santi Giuseppe Meucci) lhe rendeu fortuna. Sem preocupações financeiras, Alexander Graham Bell pôde se dedicar a outros estudos. Entre eles estava a aviação.

Uma das questões tecnológicas que permeavam os círculos científicos no início do século XX era sobre a possibilidade de se construir aparatos voadores grandes e aerodinamicamente estáveis. Um dos argumentos contrários a esta possibilidade foi dado pelo astrônomo e matemático Simon Newcomb (1835–1909):

     “Considere duas máquinas voadoras semelhantes, sendo que uma tem o dobro da escala da outra. Todos sabemos que o volume e, então, o peso de dois corpos semelhantes são proporcionais aos cubos de suas dimensões. O cubo de dois é 8; então a máquina maior terá 8 vezes o peso da máquina menor. As áreas das superfícies destas máquinas, por outro lado, são proporcionais aos quadrados de suas dimensões. O quadrado de dois é 4. Desta maneira, a máquina mais pesada exporá ao vento uma superfície com área apenas 4 vezes maior, tendo então uma nítida desvantagem na razão eficiência por peso.”

Alexander Graham Bell propôs um modelo de pipa aerodinamicamente estável e cujo tamanho pode ser aumentado mantendo-se constante a razão eficiência por peso. A ideia de Bell: usar células tetraédricas. Nesta atividade você encontrará um passo a passo para a construção de uma das pipas tetraédricas inventadas por Alexander Graham Bell. Para saber porque esta pipa não é uma violação do argumento dado por Newcomb, basta seguir as orientações do formulário de acompanhamento do aluno.




INFORMAÇÕES SUPLEMENTARES

ESQUEMAS 3D INTERATIVOS DAS PIPAS TETRAÉDICAS

Clique nas figuras abaixo para exibir esquemas 3D interativos das pipas tetraédricas com 1, 4, 16, 64 e 256 estruturas tetraédricas, respectivamente. Na janela que se abrirá, para ampliar ou reduzir o esquema, mantenha o botão direito do mouse pressionado e, então, arraste-o.

1 célula tetraédrica 4 células tetraédricas 16 células tetraédricas 64 células tetraédricas 256 células tetraédricas


ALEXANDER GRAHAM BELL E SUAS PIPAS TETRAÉDRICAS

Na foto da Figura 2, além de Alexander Graham Bell, aparece também a sua esposa Mabel Gardiner Hubbard. A Figura 3 é uma reprodução de uma das páginas da patente da pipa tetraédrica feita por Alexander Graham Bell (clique na Figura 3 para ampliá-la).

Alexander Graham Bell
Figura 1
    Alexander Graham Bell e Mabel Gardiner Hubbard
Figura 2
    Uma das páginas da patente da pipa tetraédrica feita por Bell
Figura 3

O PRINCÍPIO DA SIMILITUDE DE GALILEU GALILEI

O argumento dado por Simon Newcomb para a impossibilidade de se construir máquinas voadoras grandes é uma releitura do Princípio da Similitude dada por Galileu Galilei em sua obra Discorsi e Dimostrazioni Mathematische de 1638. Segundo este princípio, se um organismo biológico aumentar o seu tamanho, ele vai ter que mudar a sua estrutura. Considere, por exemplo, a situação de dois animais semelhantes, onde um deles tem o dobro da escala do outro. A “espessura” de um osso do animal maior será 4 vezes maior do que a “espessura” do osso correspondente do animal menor, mas este osso terá que suportar 8 vezes mais peso. Portanto, a estrutura óssea do animal maior será bem mais frágil se comparada com a do animal menor. Pelo Princípio da Similitude, uma “versão maior” do animal menor preferirá mudar a sua estrutura (por exemplo, aumentando mais do que 4 vezes a “espessura” dos ossos) para garantir robustez. É por este motivo que não podem existir aquelas aranhas gigantes que aparecem nos filmes de terror.


Tarantula!: filme de terror lançado em 1955 pelo diretor Jack Arnold.


PROPORÇÕES E AS VIAGENS DE GULLIVER

O trecho abaixo foi extraído do romance “Viagens de Gulliver” do escritor irlandês Jonathan Swift (1667-1745):

     “Haverá por bem observar o leitor que no último artigo do recobramento de minha liberdade, o imperador estipula (que) me seja concedida uma quantidade de carne e bebidas suficiente para o sustento de 1728 liliputianos. Algum tempo depois, perguntando a um amigo meu da corte de que maneira haviam conseguido fixar precisamente este número, respondeu-me ele que os matemáticos de Sua Majestade, havendo tomado a altura do meu corpo por meio de um quadrante, e verificando que ela excede a dos deles na proporção de doze para um, deduziram, da semelhança dos nossos corpos, que o meu devia conter pelo menos 1728 dos deles, e exigir, conseguintemente, a quantidade de alimentos necessária à sustentação de igual número de liliputianos. Pelo que pode o leitor formar ideia do engenho desse povo, assim como da prudente e exata economia de tão grande príncipe.”

Viagens de Gulliver, Jonathan Swift, Coleção Os Imortais da Literatura, Editora Abril, 1971.
Tradução: Octavio Mendes Cajado.

O cálculo do volume feito pelos matemáticos liliputianos está correto: se Gulliver é 12 vezes mais alto do que um liliputiano, então o seu volume é 123 = 1728 vezes maior (assumindo que Gulliver e os liliputianos são semelhantes). Contudo, se o metabolismo dos liliputianos for igual ao metabolismo de Gulliver, não está correto afirmar que, por ter um volume 1728 vezes maior, Gulliver tenha que receber 1728 vezes mais comida do que um liliputiano receberia. A energia fornecida pelos alimentos é majoritariamente transformada em calor e a taxa de perda de calor é proporcional à área da superfície do corpo e não ao seu volume. Note que a área da superfície do corpo de um liliputiano é 144 vezes menor do que a área da superfície do corpo de Gulliver, enquanto que o calor gerado por seu corpo é 1728 vezes menor. Logo, ou a temperatura do corpo de um liliputiano é muito menor (ele não teria sangue quente) ou ele teria que comer mais (em comparação ao seu tamanho) para gerar mais energia (como um camundongo que fica mordiscando constantemente).

     
Ilustrações do romance “Viagens de Gulliver” de Jonathan Swift no Projeto Gutenberg.




Creative Commons License

Responsável: Humberto José Bortolossi.
Idealização: João Júlio Dias Bastos Queiroz e Humberto José Bortolossi.
Construção: João Júlio Dias Bastos Queiroz e Mayara Andrade Viana.
Revisão: Carlos Eduardo Castaño Ferreira, João Júlio Dias Bastos Queiroz e Humberto José Bortolossi.

A Pipa Tetraédria de Graham Bell Versão 29/05/2009
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