Quer conferir suas respostas?

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  Desafio 1: Para resolver este problema, perceba que todas as diagonais do hexágono são iguais e, lembrando das atividades com o artefato modelador de triângulos, observe que os dois triângulos justapostos ao sombreado têm a mesma área, independentemente da forma, uma vez que as bases e as alturas são as mesmas, como desenhado na Figura 1 (b).
  
  
  Figura 1
  
  Naturalmente, esse raciocínio não substitui uma solução elaborada por meios dedutivos, mas permite que chegue à resposta, pois, se a fosse a área procurada, contando os triângulos no hexágono, teria
  
  18a = 45cm²
  
  a = 2,5cm²
  A solução apresentada pela Olimpíada é a que se segue.
  
  A resposta é B), pois como o hexágono é regular, suas diagonais são iguais. Logo, o triângulo ACE da Figura 1 (a) é equilátero, e segue que CÂE = 60º. Além disso, como AD é um dos eixos de simetria do hexágono, o triângulo APQ é isósceles; como ele já tem um ângulo de 60° segue que ele é equilátero. O mesmo raciocínio mostra que o triângulo FRP também é equilátero. Como o hexágono tem outro eixo de simetria que passa por P, os triângulos APQ e FRP são congruentes; como ambos são equiláteros todos os seus lados, e em particular PQ = FP. Assim, os triângulos AFP e APQ têm bases iguais e a mesma altura h, indicada na Figura 2 (b). Se a for a área do triângulo APQ; então:
  
  a = área(APQ) = (1/2)PQ.h = (1/2)FP.h = área(AFP)
  
  Isso mostra que, na Figura 2, o hexágono está dividido em 18 triângulos de área a.
  Segue que 18a = 45. De donde a = 45/18 = 2,5cm².
  
  
  
  Figura 2
  
  Desafio 2:
  
  

  Se quiser verificar que os trapézios, cujas medidas das bases e da altura se conservam, têm a mesma área, observe a animação eletrônica ao lado. Clique com o mouse sobre o círculo verde e arraste-o sobre o segmento de reta.

  
  
  Desafio 3:
  
  
  

  Note que a região tem a forma de um trapézio e foi dividida em 5 terrenos também com a forma de trapézios, com as bases menores e as bases maiores com mesmas dimensões. Note também que as alturas desses trapézios têm a mesma medida. Por sua vez, as áreas inundadas também são iguais. Observe a animação eletrônica ao lado. Clique com o mouse sobre o círculo verde e arraste-o sobre o segmento de reta. Portanto, nesse caso, a escolha do melhor terreno para a compra independe da área, pois todos os terrenos terão a mesma porção inundada pelas águas das enchentes. Revendo todas as animações apresentadas, poderá concluir que, se os terrenos de mesma área fossem retangulares ou tivessem outras formas de paralelogramos, o tamanho da região inundada seria o mesmo.

  
  

  Fechando Ideias... Lembra-se do Teorema de Tales? Teorema de Tales: se duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas então as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são proporcionais. Será que esse teorema teria alguma coisa a ver com os artefatos modeladores e com as animações eletrônicas? Será que ele poderia explicar as conclusões estabelecidas nas atividades e nos desafios? Considere os canudos dos artefatos e os segmentos horizontais das animações como pertencentes a um feixe de retas paralelas. Imagine os pedaços de elástico dos artefatos e os demais segmentos das animações como retas transversais. Percebeu como o teorema foi aplicado?