Conteúdos Digitais em Matemática para o Ensino Médio

Função quadrática e sequências

Considere $f : $ IR $ \to $ IR definida por $y = f(x) = ax^{2} + bx + c$ uma função quadrática e $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ uma progressão aritmética definida por $x_{n} = x_{0} + n\Delta{x}$, onde $x_{0}$ é um ponto qualquer do domínio de $f$ e $\Delta{x}$ é um incremento da variável independente $x$.

O que podemos afirmar a respeito da sequência $(f(x_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$? Será que esta sequência também será uma progressão aritmética? Resolva a atividade a seguir.

Atividade 3

No painel a seguir escolha inicialmente valores para os números $a$, $b$ e $c$ da função quadrática (basta deslocar os botões associados às letras correspondentes). Em seguida, escolha um valor $x_{0}$ (termo inicial da progressão aritmética $(x_{n})$) e outro para $\Delta{x}$ (razão da progressão aritmética $(x_{n})$). A tabela ao lado do painel registra então os valores de $x_{n}$, $f(x_{n})$, $\Delta{y_{n}} = f(x_{n} + \Delta{x}) - f(x_{n})$ e $\Delta^{2}y_{n} = \Delta{y_{n + 1}} - \Delta{y_{n}}$ em cada uma de suas colunas.

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Responda agora as seguintes questões:

3.1 - O que você observa na coluna que contém os valores de $(f(x_{n}))$? $(f(x_{n}))$ é uma progressão aritmética?

Sim, $(f(x_{n}))$ é uma progressão aritmética

Não, $(f(x_{n}))$ não é uma progressão aritmética

3.2 - O que você observa na coluna que contém os valores de $\Delta{y_{n}}$? $\Delta{y_{n}}$ é uma progressão aritmética?

Sim, $\Delta{y_{n}}$ é uma progressão aritmética

Não, $\Delta{y_{n}}$ não é uma progressão aritmética

3.3 - Escolha agora outros valores para $x_{0}$ e $\Delta{x}$. Pode-se concluir que os valores de $\Delta{y_{n}}$

formam uma progressão aritmética

não formam uma progressão aritmética

3.4 - O que você concluiu a respeito dos valores de $\Delta{y_{n}}$ pode ser generalizado para qualquer outra função quadrática?

Sim

Não

Parabéns! Você acertou! $\Delta{y_{n}}$ continua a ser uma progressão aritmética! Assim, podemos concluir que se $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ é uma progressão aritmética e $f$ é uma função quadrática arbitrária, então $\Delta{y_{n}}$ é uma progressão aritmética onde a constante $\Delta^{2}y_{n}$ é a razão desta progressão.

Clique aqui para ver a explicação do fato:

Observe que

$\Delta^{2}y_{n}$	$=$	$\Delta{y_{n + 1}} - \Delta{y_{n}} = [f(x_{n + 1} + \Delta{x}) - f(x_{n + 1})] - [f(x_{n} + \Delta{x}) - f(x_{n})] =$
	$=$	$[f(x_{n} + \Delta{x} + \Delta{x}) - f(x_{n} + \Delta{x})] - [f(x_{n} + \Delta{x}) - f(x_{n})] =$
	$=$	$f(x_{n} + 2\Delta{x}) - 2f(x_{n} + \Delta{x}) + f(x_{n}) =$
	$=$	$[a(x_{n} + 2\Delta{x})^2 + b(x_{n} + 2\Delta{x}) + c] - 2[a(x_{n} + \Delta{x})^2 + b(x_{n} + \Delta{x}) + c]$
		$+{\,}[a(x_{n})^{2} + b(x_{n}) + c] =$
	$=$	$a(x_{n})^{2} + 4a(x_{n})\Delta{x} + 4a(\Delta{x})^{2} + bx_{n} + 2b\Delta{x} + c - 2a(x_{n})^2 - 4a(x_{n})\Delta{x} - 2a(\Delta{x})^2$
		$-{\,}2bx_{n} - 2b\Delta{x} - 2c + a(x_{n})^{2} + b(x_{n}) + c =$
	$=$	$2a(\Delta{x})^{2}$

Logo $\Delta{y_{n}}$ é uma progressão aritmética onde a constante $\Delta^{2}y_{n} = 2a(\Delta{x})^2$, que aparece na quarta coluna da tabela, é a razão desta progressão, qualquer que seja a função quadrática escolhida.

Assim, podemos concluir que:

se $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ é uma progressão aritmética e $f$ é uma função quadrática, então $\Delta{y_{n}}$ é uma progressão aritmética onde a constante $\Delta^{2}y_{n} = 2a(\Delta{x})^2$ é a razão desta progressão.

Vá agora para o item “Caracterização da função quadrática” do menu e leia o texto com atenção.

Que pena! Você não acertou!

Mas, agora é a vez da álgebra ajudar você:

Clique aqui para ver a explicação do fato:

Observe que

$\Delta^{2}y_{n}$	$=$	$\Delta{y_{n + 1}} - \Delta{y_{n}} = [f(x_{n + 1} + \Delta{x}) - f(x_{n + 1})] - [f(x_{n} + \Delta{x}) - f(x_{n})] =$
	$=$	$[f(x_{n} + \Delta{x} + \Delta{x}) - f(x_{n} + \Delta{x})] - [f(x_{n} + \Delta{x}) - f(x_{n})] =$
	$=$	$f(x_{n} + 2\Delta{x}) - 2f(x_{n} + \Delta{x}) + f(x_{n}) =$
	$=$	$[a(x_{n} + 2\Delta{x})^2 + b(x_{n} + 2\Delta{x}) + c] - 2[a(x_{n} + \Delta{x})^2 + b(x_{n} + \Delta{x}) + c]$
		$+{\,}[a(x_{n})^{2} + b(x_{n}) + c] =$
	$=$	$a(x_{n})^{2} + 4a(x_{n})\Delta{x} + 4a(\Delta{x})^{2} + bx_{n} + 2b\Delta{x} + c - 2a(x_{n})^2 - 4a(x_{n})\Delta{x} - 2a(\Delta{x})^2$
		$-{\,}2bx_{n} - 2b\Delta{x} - 2c + a(x_{n})^{2} + b(x_{n}) + c =$
	$=$	$2a(\Delta{x})^{2}$

Assim, podemos concluir que:

se $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ é uma progressão aritmética e $f$ é uma função quadrática, então $\Delta{y_{n}}$ é uma progressão aritmética onde a constante $\Delta^{2}y_{n} = 2a(\Delta{x})^2$ é a razão desta progressão.

Vá agora para o item “Caracterização da função quadrática” do menu e leia o texto com atenção.

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