Para realizar as atividades que se seguem você vai precisar:


a) Coloque uma folha de papel em branco na Prancheta de Apoio. Trace duas retas perpendiculares, tais que, o ponto de interseção esteja aproximadamente no centro da folha. Nomeie-as de x e y. Marque dois pontos na reta x de maneira que sejam simétricos em relação à y. Chame-os de F₁ e F₂.

b) Coloque um percevejo em um dos furos da Tira de Papel para Desenhar Cônicas e prenda-o no ponto F₁. Pegue um pedaço de barbante de comprimento menor que 10 cm e amarre-o no outro furo da Tira de Papel para Desenhar Cônicas. Amarre um percevejo na outra ponta do barbante e prenda-o no ponto F₂. Com o lápis, estique o barbante de modo a encostá-lo na Tira de Papel e a movimente em torno de F₁, mantendo a ponta do lápis encostada na folha de papel e o barbante esticado. Pare quando o lápis chegar ao final do barbante. Repita este procedimento, colocando o barbante no ponto F₁ e a Tira de Papel em F₂, girando-a agora em torno deste ponto. O que você pode observar? Você já viu alguma curva parecida com esta? Você sabe o nome dela?

Agora você vai realizar uma tarefa para chegar à equação analítica da hipérbole. Para tanto, deve seguir a sequência de passos a seguir:

c) Tome o desenho da hipérbole que você obteve. Você consegue observar alguma relação entre a distância dos pontos da hipérbole e seus focos, ou seja, entre o comprimento do barbante e os pontos F₁ e F₂?

Fotos do Acervo do LEG.

Observe que quando se constrói a hipérbole, à medida que a ponta do lápis se afasta do ponto F₁ se afasta a mesma medida do ponto F₂.

Com isso, pode-se então definir hipérbole como: o conjunto dos pontos do plano tais que, o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante.

d) Tomando as retas x e y como um sistema cartesiano, você conseguiria deduzir a equação da hipérbole? Discuta com seus colegas de que maneira isso poderia ser feito.

e) Seja c a distância dos focos à origem. Tome os focos F₁ = (-c, 0) e F₂= (c, 0), e P = (x, y) um ponto da hipérbole. Pela definição de hipérbole temos que

|d(F_l, P) - d(F₂, P)| = 2a

Logo,

d((x, y), (-c, 0)) - d((x, y), (c, 0)) = 2a

√[(x + c)² + y²] - √[(x - c)² + y²] = 2a

f) Você conseguiria, partindo da equação acima chegar à equação (c² - a²)x² - a²y² = a²(c² - a²)?

Fechando ideias...     Você poderia fazer o seguinte: √[(x + c)2 + y2] - √[(x - c)2 + y2] = 2a, ou seja √[(x + c)2 + y2] = 2a + √[(x - c)2 + y2] Elevando os dois membros ao quadrado, então: (x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a√[(x - c)2 + y2] + (x – c)2 + y2 x2 + 2xc + c2 = 4a2 + 4a√[(x - c)2 + y2] + x2 - 2xc + c2 4xc = 4{a2 + a√[(x - c)2 + y2]}, isto é, xc – a2 = a√[(x - c)2 + y2] Elevando novamente ao quadrado: (xc – a2)2 = a2{√[(x - c)2 + y2]}2, ou seja, x2c2 - 2a2xc + a4 = a2 [x2 - 2xc + c2 + y2] a4 – 2a2xc + x2c2 = a2x2 - 2a2xc + a2c2 + a2y2 (c2 - a2)x2 - a2y2 = a2(c2 - a2) Pela definição, tem-se que 2c > 2a, logo c > a e a > 0, então fazendo-se c2 - a2 = b2, tem-se b2x2 - a2y2 = a2b2. Então, x2/a2 - y2/b2 = 1 Em Geometria, esta equação é conhecida como equação reduzida da hipérbole de centro na origem do plano cartesiano.

CURIOSIDADES!!! Formas parabólicas e hiperbólicas em telescópios Você sabia que os telescópios de reflexão funcionam segundo uma aplicação óptica da hipérbole? Esses aparelhos são constituídos basicamente por dois espelhos, um maior, que é parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. Esses dois espelhos estão dispostos de maneira que os eixos da parábola e da hipérbole coincidem e o foco da primeira coincide com um dos da segunda. Veja em Cônicas. Formas cônicas em jogos de bilhar Sabia que as cônicas também têm inspirado a criação de diversos tipos de jogos. Na exposição Atractor, encontram-se três jogos de bilhar cujas mesas têm formas peculiares: um bilhar elíptico, outro hiperbólico e um terceiro, parabólico. Formas cônicas em diversas aplicações Veja no site da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa mais aplicações dessas curvas.

Questionário de desafios      Veja um questionário com desafios matemáticos interessantes e que utilizam conhecimentos advindos das Curvas Luminosas. Clique no botão à direita para baixar o arquivo para impressão.