Conteúdos Digitais em Matemática para o Ensino Médio

Agora responda as seguintes questões:

3.2. Com base nos valores fornecidos pela tabela, pode-se concluir que a sequência $P(1908)$, $P(1916)$, $P(1924)$, $P(1932)$, …, $P(2012)$, $P(2020)$, ..., é uma progressão:

aritmética geométrica nenhuma das alternativas anteriores

Você esqueceu de responder a questão.

Parabéns! Faça a próxima atividade.

Observe que os valores que aparecem na terceira coluna da tabela não se alteram.

Quer dizer: $\displaystyle\frac{P(2020)}{P(2012)} = \displaystyle\frac{P(2012)}{P(2004)} = \displaystyle\frac{P(2004)}{P(1996)} = \cdots = \displaystyle\frac{P(1916)}{P(1908)} \cong 1\mbox{,}189207$.

Este fato sugere, como já vimos antes, que a sequência é uma progressão geométrica.

3.3. Observando os dados da tabela, que tipo de função você escolheria para descrever a relação entre as variáveis $P$ e $t$?

uma função afim uma função quadrática uma função exponencial

Você esqueceu de responder a questão.

Parabéns! Clique aqui e faça a atividade extra.

Observe que a variação relativa $\displaystyle\frac{P(t + \Delta{t}) - P(t)}{P(t)}$ permanece constante (dados da quarta coluna da tabela). Você já viu isso antes, não é mesmo? Se for necessário, vá ao menu e clique no item "Caracterização da função exponencial". Pense um pouco e tente de novo. Temos certeza que dessa vez você irá acertar.

Como a variação relativa $\displaystyle\frac{P(t + \Delta{t}) - P(t)}{P(t)}$ permanece constante, uma boa escolha seria considerar a variável $P$ como uma função exponencial da variável $t$. Clique aqui e faça a próxima atividade extra.

Atividade extra

Considere então $P(t) = k\cdot{}a^{t}$.

3.3.1. Usando o fato de que $\displaystyle\frac{P(1988)}{P(1956)} = \displaystyle\frac{5\mbox{,}36}{2\mbox{,}68} = 2$, pode-se concluir que o número $a$ é igual a:

$2^{\displaystyle\frac{1}{32}}$ $2^{32}$ 2 nenhuma das alternativas anteriores

Você esqueceu de responder a questão.

Parabéns! Tem-se então que $P(t) = k \cdot{}\left(2^{\displaystyle\frac{1}{32}}\right)^{t}$, quer dizer: $P(t) = k\cdot{}2^{\displaystyle\frac{t}{32}}$. Clique aqui para fazer o próximo item.

Note que $2 = \displaystyle\frac{P(1988)}{P(1956)} = \displaystyle\frac{k\cdot{}a^{1988}}{k\cdot{}a^{1956}} = \displaystyle\frac{a^{1988}}{a^{1956}} = a^{32}$. Logo $a = a^{\displaystyle\frac{1}{32}}$.

Tem-se então que $P(t) = k\cdot{}\left(2^{\displaystyle\frac{1}{32}}\right)^{t}$, quer dizer: $P(t) = k\cdot{}2^{\displaystyle\frac{t}{32}}$.

Clique aqui para fazer o próximo item.

3.3.2. Usando a informação $P(1956) = 2\mbox{,}68$ mostre que $P = P(t) = 2\mbox{,}68\cdot{}2^{\left(\displaystyle\frac{t - 1956}{32}\right)}$.

Observe

$2\mbox{,}68 = P(1956) = k\cdot{}2^{\displaystyle\frac{1956}{32}} \Rightarrow 2\mbox{,}68 = k \cdot{} 2^{\displaystyle\frac{1956}{32}} \Rightarrow k = \displaystyle\frac{2\mbox{,}68}{2^{\displaystyle\frac{1956}{32}}} \Rightarrow k = 2\mbox{,}68 \cdot{} 2^{-\displaystyle\frac{1956}{32}}$

Logo:

$P = P(t) = k\cdot{}2^{\displaystyle\frac{t}{32}} = 2\mbox{,}68\cdot{}2^{-\displaystyle\frac{1956}{32}}\cdot{}2^{\displaystyle\frac{t}{32}} = 2\mbox{,}68\cdot{}2^{\left(\displaystyle\frac{t - 1956}{32}\right)}$

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