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ATIVIDADE 2
Descobrindo o Teorema de Pitágoras com o
Tangram Pitagórico com Triângulos


a) Você seria capaz de criar um jogo de encaixe, que representasse as mesmas ideias geométricas apresentadas no Tangram Pitagórico com Quadrados, substituindo as peças que formam os quadrados por quatro peças com formas de triângulos retângulos escalenos? Se tiver dificuldade em criá-lo, realize a tarefa que se segue.
  • CONSTRUÇÃO DO ARTEFATO MODELADOR PARA O JOGO TANGRAM PITAGÓRICO COM TRIÂNGULOS


    Material necessário: 3 folhas de papel-cartão ou emborrachado fino (com cerca de 3mm de espessura) de cores diferentes, 1m de plástico adesivo transparente.

    Procedimento: Imprima o esboço gráfico ou desenhe um triângulo retângulo escaleno ABC, com ângulo  = 90o.

    Trace a altura do vértice A em relação à hipotenusa CB.

    Chame de D o pé dessa altura sobre BC e tomando cada lado desse triângulo ABC como hipotenusa, desenhe três triângulos retângulos ABE, ACF e BCH congruentes a ABD, ACD e ABC, respectivamente.

    Em papel-cartão ou emborrachado recorte, seguindo as cores apresentadas a seguir, cada uma das figuras desenhadas e coloque-as entre duas folhas de plástico adesivo, deixando entre elas um espaço de 3mm de espessura. Esses espaços formarão uma espécie de dobradiça, em torno das quais as figuras serão movimentadas.

    Agora que você já construiu o material, volte para a atividade.


    Foto do Artefato do acervo do LEG.

b) Desenhe um triângulo retângulo escaleno ABC, com ângulo A = 90o. Trace a altura do triângulo relativa ao lado CB passando pelo vértice A. Chame de D o pé dessa altura sobre CB e tomando cada lado desse triângulo ABC como hipotenusa, desenhe três triângulos retângulos ABE, ACF e BCH congruentes a ABD, ACD e ABC, respectivamente. Que relações você pode concluir sobre as áreas desses triângulos? Não conseguiu? Veja Figura A.

c) Você é capaz de justificar, matematicamente, tais relações? Caso encontre dificuldade, observe o desenho da Figura B, em que estão indicados os diversos segmentos que compõem os triângulos traçados, sendo AD altura do vértice A em relação à hipotenusa CB. Observe que os triângulos ADB e ADC são retângulos.
Como ∠B + ∠C = 90o e ∠B + ∠BAD = 90o,
então ∠BAD = ∠C.
Daí, ∠DAC + ∠C = 90o e então ∠DAC = ∠B.

O que você pode afirmar sobre os triângulos ADB e ADC?
Figura A



Figura B
d) Você deve ter percebido que os triângulos ADB e CDA têm a mesma forma do triângulo ABC, e, portanto, são figuras semelhantes.

. Da semelhança que associa A a C; B a A e D a D, tem-se  c/b = m/h = h/n, de onde h2 = mn;

. Da semelhança que associa A a C; B a B e D a A, tem-se que m/c = c/a;

. Da semelhança que associa C a A; D a B e A a C tem-se que n/b = b/a.

Como consequência dessas duas últimas relações observe que  am = c2 e an = b2, de onde

a(m + n) = b2 + c2

Como m + n = a, então
a2 = b2 + c2

Com esta conclusão ficou demonstrado o que você deve ter percebido ao realizar os jogos ou ao manipular os materiais concretos.

       Observação Importante!

Você sabia que em Geometria, esse resultado é conhecido como Teorema de Pitágoras?

“Se o triângulo é retângulo então, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”.

Quer explorar tudo que você fez nessa atividade com um jogo eletrônico? Clique no botão do jogo.


           


Creative Commons License

Responsável:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff.
Idealização:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff e Bárbara Gomes Votto.
Programação:
 
Carol Cruz de Carvalho, Erick Baptista Passos, Manoel Mariano Siqueira Junior, Rafael Machado Alves e Wagner Luiz Oliveira dos Santos.
Revisão:
 
Anne Michelle Dysman Gomes.

Elaborado no LEG - Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense.
Tangrans Pitagóricos Versão 20/03/2010
Possíveis atualizações e extensões desta atividade estarão disponíveis no endereço http://www.uff.br/cdme/.
Site alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br.
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