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ATIVIDADE 3
Descobrindo a Generalização do Teorema de Pitágoras com o Tangram Pitagórico com Polígonos Quaisquer


Para realizar esta atividade você precisará construir um jogo do tipo quebra-cabeça.

  • CONSTRUÇÃO DO JOGO TANGRAM PITAGÓRICO COM POLÍGONOS QUAISQUER

    Material necessário: três folhas de papel-cartão ou emborrachado fino (com cerca de 3mm de espessura) de cores diferentes, papel quadriculado (com quadrado de 0,5mm de lado) e cola.

    Procedimento: Imprima o esboço gráfico .

    Sobre uma das folhas de papel-cartão ou emborrachado, desenhe um triângulo retângulo escaleno. Recorte-o.

    Sobre uma das outras folhas, desenhe um quadrado de lado com medida igual à do cateto menor desse triângulo. Divida esse quadrado ao meio, obtendo dois retângulos iguais. Recorte e os divida, ao longo de uma de suas diagonais. Agora, sobre a terceira folha de papel-cartão, desenhe um quadrado de lado com medida igual à do cateto maior do triângulo retângulo escaleno original. Divida esse quadrado ao meio, segundo um segmento perpendicular a um dos lados, obtendo dois retângulos iguais.

    Recorte-os e os divida ao longo de uma de suas diagonais.

    Com essas peças você tem um jogo do tipo de um quebra-cabeça.

    Repita esse procedimento e cole as novas peças obtidas sobre papel quadriculado.

    Agora que você já construiu o material, volte para a atividade.


    Foto do acervo do LEG.
a) Com duas peças de uma mesma cor tente construir formas retangulares. É possível construir figuras com forma de paralelogramos? E de triângulos isósceles?

b) Com quatro peças de duas cores diferentes construa formas retangulares. É possível construir formas de paralelogramos? E de triângulos isósceles?

c) Utilizando todas as peças do jogo, com exceção da triangular cuja cor é diferente das demais, construa três figuras que tenham a mesma forma e tente justapô-las aos lados dessa peça triangular.

d) Utilizando todas as peças, verifique se é possível estabelecer com uma outra forma de polígono (como de triângulo isósceles, ou de retângulo ou de paralelogramo) uma relação como aquela obtida com os Jogos Pitagórico com Quadrados e com Triângulos.

Ou seja, verifique se é possível estabelecer uma relação entre as áreas das figuras construídas e justapostas aos lados de um triângulo retângulo, como a obtida para os quadrados e triângulos.

  • Algumas construções possíveis


    A seguir, encontram-se representadas três possíveis construções com as peças desse jogo.

    Você percebeu que as peças justapostas aos lados do triângulo retângulo possuem a mesma forma geométrica?

    Ou seja, elas representam figuras semelhantes, cuja soma das áreas encontram-se na mesma relação observada nos jogos pitagóricos com quadrados e com triângulos.

    Observe algumas configurações para solução, nas quais as figuras maiores justapostas às hipotenusas são formadas pelos quatro triângulos retângulos.

      Fotos do acervo do LEG.
       Observação Importante!!!

Por que isso acontece?

Observe que a soma das áreas dos polígonos justapostos aos catetos do triângulo retângulo é igual à área do polígono justaposto à sua hipotenusa, ou seja, vale o Teorema de Pitágoras para esses polígonos. Isto é,


O Teorema de Pitágoras é válido para polígonos semelhantes quaisquer justapostos a um triângulo retângulo.

Se quiser saber mais sobre isso, converse com seu professor de matemática e peça-lhe que explique como uma demonstração do teorema, para o caso de polígonos quaisquer, pode ser apresentada utilizando o chamado método de exaustão.

Se você está realmente curioso, consulte o Guia do Professor que acompanha estas atividades. Talvez, você mesmo e sem qualquer ajuda, consiga entender a explicação apresentada!

Refaça esta atividade no jogo eletrônico.

     


Creative Commons License

Responsável:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff.
Idealização:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff e Bárbara Gomes Votto.
Programação:
 
Carol Cruz de Carvalho, Erick Baptista Passos, Manoel Mariano Siqueira Junior, Rafael Machado Alves e Wagner Luiz Oliveira dos Santos.
Revisão:
 
Anne Michelle Dysman Gomes.
Elaborado no LEG - Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense.
Tangrans Pitagóricos Versão 20/03/2010
Possíveis atualizações e extensões desta atividade estarão disponíveis no endereço http://www.uff.br/cdme/.
Site alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br.
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conteudosdigitais@im.uff.br.