O maior historiador da antiguidade foi Heródoto (cerca de 500 a.C.), o qual considera o desenvolvimento da geometria no Egito ser consequência direta das inundações periódicas das terras cultiváveis às margens do rio Nilo. Devido às águas das enchentes apagarem as demarcações determinadas para os terrenos de plantio, foram criadas técnicas de mensuração, que permitissem uma maior agilidade nessa demarcação.
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Foi a partir da necessidade da mensuração dos terrenos e da experiência com o meio ambiente, ou seja, da prática da resolução desses problemas da vida cotidiana dos egípcios, que os conceitos e fórmulas geométricas foram se desenvolvendo e se tornaram conhecidos.
A maior parte do que se sabe sobre o conhecimento dessa civilização está em diversos papiros, dos quais, o mais ilustrativo e bem escrito é conhecido como Papiro de Rhind. Datado entre 2000 a.C. e 1700 a.C., consta desse documento, por exemplo, que a área do círculo era calculada pela fórmula (16/9)2 x R2, na qual R é o raio da circunferência, de onde se conclui que os egípcios consideravam Π = 3,1605. Eles também conheciam o volume do tronco da pirâmide e a área da superfície de uma esfera.
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Apesar de esse papiro fazer referências a fundamentos da trigonometria e a uma teoria de triângulos semelhantes, não há nele, e aparentemente, até os nossos dias, em nenhum outro documento histórico egípcio, referências ao uso ou ao conhecimento do conteúdo do Teorema de Pitágoras. Este fato, entretanto, é dito como certo, na maioria dos textos sobre Geometria que surgiram nos últimos 100 anos.
Tudo indica que a geometria egípcia aparece como um conhecimento mais próximo de um ramo da aritmética aplicada, permeada, por técnicas de mensuração e de cálculo, do que como um conhecimento ligado ao raciocínio abstrato e às inferências lógicas.
Apesar dessas constatações, muitos livros didáticos citam situações em que declaram que os egípcios conheciam algumas relações entre os números 3, 4 e 5 e as usavam no seu dia a dia.
Quer saber mais sobre quais relações os egípcios conheciam entre estes números e em que tipo de situação concreta do cotidiano eles se utilizavam destas relações numéricas?
Quer saber como algumas palavras e expressões do nosso dia a dia estão estreitamente ligadas com esses conceitos geométricos?
| Curiosidades!!!
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O Esquadro de Cordas dos Egípcios
Você saberia dizer como provavelmente os egípcios conseguiam traçar, com meios bem rudimentares, a figura de um triângulo retângulo a partir dos números 3, 4 e 5?
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Tudo indica que dividiam uma corda em doze partes iguais por meio de 13 nós, obtendo um artefato que poderia ser considerado como um esquadro de corda. Com o auxílio de três estacas o fixavam no terreno a ser demarcado. Para tanto, primeiro, fixavam um dos trechos da corda contendo, 3, 4 ou 5 partes. Enquanto iam tentando juntar as pontas da corda até que as duas se encontrassem, esticavam os seus outros dois trechos. Com esta técnica, obtinham a forma de triângulo retângulo sobre o terreno.
Veja foto do emprego do esquadro realizada no Laboratório de Ensino de Geometria da UFF.
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Aplicações no Cotidiano e na Língua Portuguesa
Você sabia que, ainda hoje em dia, muitos profissionais, como pedreiros, carpinteiros, serralheiros, utilizam este tipo de esquadro para o traçado de figuras com ângulos retos?
Sabia também que as palavras esquadro, esquadria, esquadrão, esquadrilha e outras, como quadrado, enquadrado etc. estão interligadas pelas noções de ângulo reto e de perpendicularidade?
Por exemplo, a própria palavra esquadro significa norma. Chama-se de normal ou regrado aquilo que não se inclina nem para a direita nem para a esquerda, portanto aquilo que permanece perpendicular a algum plano. É por esta razão que comumente, se costuma dizer:
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O terreno está fora de esquadro,
Colocar as paredes em esquadro,
Preparar o vão da janela para a colocação da esquadria.
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Afinal, quer realmente saber quais as relações lógicas envolvidas no Teorema de Pitágoras?
Fechando Ideias...
As Inferências Lógicas do Teorema de Pitágoras
O usuário do esquadro de cordas considerava que, se a corda fosse dividida em 3, 4, 5 partes iguais então, ao fixar uma delas e esticar as outras duas, obteria a figura desejada com a forma do triângulo retângulo. Em alguns documentos, existem relatos que também eram utilizados múltiplos desses valores para a divisão dos trechos da corda.
Disso tudo se conclui que, os egípcios conheciam empiricamente a seguinte inferência lógica:
“Se a, b, c são respectivamente as medidas dos lados de um triângulo, tais que a2 + b2 = c2, então o triângulo é retângulo, cuja hipotenusa tem por comprimento c.”
Observe que foi somente cerca de 1500 anos após a existência da civilização egípcia, que, na escola pitagórica grega, foi demonstrada a validade do seguinte resultado:
“Se um triângulo é retângulo então o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
Note que esta afirmação é a recíproca da inferência empírica conhecida pelos egípcios.
Você deve ter percebido que, nas atividades realizadas com os tangrans pitagóricos, foi dada ênfase à verificação da fórmula referente às somas dos quadrados das áreas, relacionando-a com o triângulo retângulo, sem ter-se dado prioridade às inferências lógicas, pois tal fórmula foi tratada como se fosse o próprio Teorema de Pitágoras.
Observe que esse procedimento é o de um experimento didático e não é como aqueles realizados pelos matemáticos, ou seja, o de demonstrar, por meios lógico-dedutivos, a validade de uma afirmação para o Teorema de Pitágoras, tal seja:
“Um triângulo é retângulo se e somente se o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
Conclui-se, portanto, que as duas inferências lógicas que compõem o teorema se desenvolveram em épocas, civilizações e por procedimentos bem diferentes.
Esse é um exemplo de como o conhecimento humano não acontece de imediato e de como o seu desenvolvimento pode perpassar por várias gerações de homens e mulheres envolvidos com experiências cotidianas ou com pesquisas cientificamente mais elaboradas.
Reduzir o Teorema de Pitágoras a uma simples aplicação de fórmulas, empobrece tanto a sua riqueza geométrica quanto a lógica-dedutiva, como a histórica.
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