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• Volumes de Sólidos de Revolução e suas Relações
  
  Você deve ter imaginado que quando se gira um triângulo retângulo em torno de sua hipotenusa é gerado um sólido com a forma como a do desenho da Figura 1. Este sólido de revolução não é um cone, pois possui dois vértices. Porém, para auxiliar no cálculo do seu volume, ele pode ser separado em dois cones, como mostra a Figura 2.
  
  

  Figura 1

  Figura 2

  
  Você deve ter percebido que, quando se gira o triângulo retângulo em torno de seu cateto b, obtém-se um cone de altura b e com raio da base c. Veja a Figura 3.
  
  Observe que, quando se gira o triângulo retângulo em torno do cateto c, obtém-se um cone de altura c e com raio da base b. Veja a Figura 4.
  
  

  Figura 3

  Figura 4

  
  Porém, quando se gira o triângulo retângulo em torno da hipotenusa a obtém-se um sólido de revolução que não é um cone, mas, por meio de uma seção plana pode-se dividi-lo em dois cones. Considere n a altura de um desses cones e h o raio da sua base. No outro cone, considere esse mesmo raio para a base e altura m. Veja a Figura 5.
  
  Figura 5
  a) Tem-se, V_b = πc²b/3, V_c = πb²c/3 e V_a = πh²n/3 + πh²m/3 então V_a = πh²(n + m)/3 e V_a = πh²a/3.
  Mas como ah = bc então h = bc/a.
  Logo, V_a = πb²c²/3a.
  
  b) V_a, V_b e V_c na igualdade a/V_a = b/V_b + c/V_c tem-se:
  b/V_b + c/V_c = b/[πc²b/3] + c/[πb²c/3] = b² + c²/[πb²c²/3] = a²/[πb²c²/3] = a/[πb²c²/3a] = a/V_a.
  
  c) Como a > b > c então
  V_b/V_c = [πc²b/3] / [πb²c/3] = c/b < 1 e V_b < V_c e V_a/V_b = [πb²c²/3a] e [πc²b/3] = b/a < 1 e V_a < V_b.
  Logo, V_a < V_b < V_c.