Dicas e informações importantes.

• a) Esquema de Construção do Dodecaedro com Canudos
  

  
  

  Na construção do esqueleto do dodecaedro com canudos, se, no lugar de linha, for usado um barbante grosso, provavelmente não será necessário fazer o reforço da estrutura, pois já terá a forma geométrica desejada. No entanto, nas estruturas construídas com linha é necessário se fazer os reforços, obtendo-se um triângulo de linhas unindo cada três canudos para se ter a forma.

  
  b) Cálculo das Medidas das Arestas do Dodecaedro e do Icosaedro Dual
  
  
  Para saber a relação entre as medidas das arestas, considere L a medida da aresta do dodecaedro e l a da aresta do poliedro dual (que é um icosaedro). O cálculo da relação entre essas medidas é como se segue.
  
  Sendo o dodecaedro um poliedro regular que possui 12 faces pentagonais, então, seja ABCDE uma dessas faces e considere o seu circuncentro, indicado por O. Para isto basta tomar as mediatrizes de dois dos lados da face.
  
       
  Sejam os segmentos AO, BO, CO, DO e EO. Daí, a face ABCDE fica dividida em 5 triângulos isósceles congruentes entre si: ABO, BCO, CDO, DEO e EAO. Logo, os ângulos AÔB, BÔC, CÔD, DÔE e EÔA são iguais a 2π/5.
  
  Considere no triângulo ABO a altura h. Claramente, h divide ABO em dois triângulos retângulos congruentes.
  
  Pelas relações métricas do triângulo retângulo, obtém-se
  
  tg π/5 = (L/2)/ h = L /2h, de onde
  
  1/2h = (1/L) tg π/5 (1)
  
  Agora, no dodecaedro, tome o triângulo isósceles de lado h e base l.
  
  Como a altura deste triângulo isósceles o divide em dois triângulos retângulos, tem-se de (1) que:
  
  sen a/2 = l/2h = l/L tg π/5 (2)
  
  Veja como tudo isso se apresenta nos desenhos a seguir.
  
         
  Note que a é o ângulo diedral (entre duas faces) do dodecaedro. O ângulo diedral de um poliedro regular convexo é dado pela seguinte fórmula:
  
  a = 2 arcsen [cos(π.V/m) csc(π/n)],
  
  na qual V é o número de vértices do poliedro, m é o número de ângulos entre as arestas do poliedro e n é o número de lados da região poligonal regular (de cada face).
  
  Logo, como no dodecaedro, V = 20, m = 60 e n = 5, seu ângulo diedral é dado por
  
  a = 2 arcsen [cos(π/3).csc(π/5)] = 2 arcsen [(1/2).csc(π/5)].
  
  Assim, sen a/2 = sen {arcsen [(1/2).csc (π/5)]} = (1/2).csc(π/5).
  
  E, portanto, de (2) segue que (1/2).csc(π/5) =(l/L).tg(π/5). Então,
  
  l/L = (1/2).csc(π/5).cot(π/5) = cos(π/5)/2sen²(π/5).
  
  l/L = 0,809017 / 1,17557
  
  Observe que nesse cálculo, os valores do seno e do cosseno foram obtidos de uma Tábua de Valores Trigonométricos (veja a seguir).
  
  l/L = 0,68819
  
  L = l / 0,68819
  
  Ou seja, l é aproximadamente 0,7L. Isto é, a aresta do icosaedro dual é cerca de 30% menor do que a do dodecaedro.
  
  

  Tábua de Valores Trigonométricos dos ângulos entre 1o e 90o.
  Ângulo o	seno	cosseno	tangente	Ângulo o	seno	cosseno	tangente
  1	0,017452	0,999848	0,017455	46	0,71934	0,694658	1,03553
  2	0,034899	0,999391	0,034921	47	0,731354	0,681998	1,072369
  3	0,052336	0,99863	0,052408	48	0,743145	0,669131	1,110613
  4	0,069756	0,997564	0,069927	49	0,75471	0,656059	1,150368
  5	0,087156	0,996195	0,087489	50	0,766044	0,642788	1,191754
  6	0,104528	0,994522	0,105104	51	0,777146	0,62932	1,234897
  7	0,121869	0,992546	0,122785	52	0,788011	0,615661	1,279942
  8	0,139173	0,990268	0,140541	53	0,798636	0,601815	1,327045
  9	0,156434	0,987688	0,158384	54	0,809017	0,587785	1,376382
  10	0,173648	0,984808	0,176327	55	0,819152	0,573576	1,428148
  11	0,190809	0,981627	0,19438	56	0,829038	0,559193	1,482561
  12	0,207912	0,978148	0,212557	57	0,838671	0,544639	1,539865
  13	0,224951	0,97437	0,230868	58	0,848048	0,529919	1,600335
  14	0,241922	0,970296	0,249328	59	0,857167	0,515038	1,664279
  15	0,258819	0,965926	0,267949	60	0,866025	0,5	1,732051
  16	0,275637	0,961262	0,286745	61	0,87462	0,48481	1,804048
  17	0,292372	0,956305	0,305731	62	0,882948	0,469472	1,880726
  18	0,309017	0,951057	0,32492	63	0,891007	0,45399	1,962611
  19	0,325568	0,945519	0,344328	64	0,898794	0,438371	2,050304
  20	0,34202	0,939693	0,36397	65	0,906308	0,422618	2,144507
  21	0,358368	0,93358	0,383864	66	0,913545	0,406737	2,246037
  22	0,374607	0,927184	0,404026	67	0,920505	0,390731	2,355852
  23	0,390731	0,920505	0,424475	68	0,927184	0,374607	2,475087
  24	0,406737	0,913545	0,445229	69	0,93358	0,358368	2,605089
  25	0,422618	0,906308	0,466308	70	0,939693	0,34202	2,747477
  26	0,438371	0,898794	0,487733	71	0,945519	0,325568	2,904211
  27	0,45399	0,891007	0,509525	72	0,951057	0,309017	3,077684
  28	0,469472	0,882948	0,531709	73	0,956305	0,292372	3,270853
  29	0,48481	0,87462	0,554309	74	0,961262	0,275637	3,487414
  30	0,5	0,866025	0,57735	75	0,965926	0,258819	3,732051
  31	0,515038	0,857167	0,600861	76	0,970296	0,241922	4,010781
  32	0,529919	0,848048	0,624869	77	0,97437	0,224951	4,331476
  33	0,544639	0,838671	0,649408	78	0,978148	0,207912	4,70463
  34	0,559193	0,829038	0,674509	79	0,981627	0,190809	5,144554
  35	0,573576	0,819152	0,700208	80	0,984808	0,173648	5,671282
  36	0,587785	0,809017	0,726543	81	0,987688	0,156434	6,313752
  37	0,601815	0,798636	0,753554	82	0,990268	0,139173	7,11537
  38	0,615661	0,788011	0,781286	83	0,992546	0,121869	8,144346
  39	0,62932	0,777146	0,809784	84	0,994522	0,104528	9,514364
  40	0,642788	0,766044	0,8391	85	0,996195	0,087156	11,43005
  41	0,656059	0,75471	0,869287	86	0,997564	0,069756	14,30067
  42	0,669131	0,743145	0,900404	87	0,99863	0,052336	19,08114
  43	0,681998	0,731354	0,932515	88	0,999391	0,034899	28,63625
  44	0,694658	0,71934	0,965689	89	0,999848	0,017455	57,28996
  45	0,707107	0,707107	1	90	1	0	-