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DESAFIO
 

No desenho, o maior círculo tem centro na origem do plano cartesiano com raio igual a 6 unidades. O círculo menor passa na origem e nos pontos A (0,6) e B (6,0).

A área da região sombreada é igual a:

a) 16π;    b) 18π;    c) 16;    d) 18?

 

Esse desafio foi adaptado de um problema preparatório aos exames vestibulares
(Revista Megazine - Jornal O Globo- 19/07/2007, p.16)


  • Considere L a região da “lúnulas” desenhada em azul, T o triângulo retângulo isósceles ACB, E a semicircunferência de raio OB; C1 e C2 representam as semicircunferências com diâmetros AB e AC, e X a região tal que X + L = C1 = C2. Sejam t, x, l, c e e indicadores das áreas das regiões T, X, L, C1, C2 e E.

    Observe no desenho que, se o Teorema de Pitágoras valesse para círculos justapostos aos lados do triângulo retângulo, então 2c = e. Como,

    e = 2t + 2x, 2x + 2l = e = 2t + 2x, daí l = t. Então, x + l = c.

    Como a área de t = (6 x 6)/2 = 18, logo x = 18, que é a área da “lúnulas” desenhada em azul.

    Então, a resposta certa do desafio seria (d).

    Esse desafio ficou fácil de resolver porque nele foi considerado que a relação entre as áreas apresentada no Teorema de Pitágoras pode ser aplicada ao caso de semicírculos, da mesma maneira como acontece com os polígonos.
     


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Responsável:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff.
Idealização:
 
Ana Maria Martensen Roland Kaleff e Bárbara Gomes Votto.
Programação:
 
Carol Cruz de Carvalho, Erick Baptista Passos, Manoel Mariano Siqueira Junior, Rafael Machado Alves e Wagner Luiz Oliveira dos Santos.
Revisão:
 
Anne Michelle Dysman Gomes.

Elaborado no LEG - Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade Federal Fluminense.

Tangrans Pitagóricos Versão 20/03/2010
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